nilpotenter Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mi 31.05.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | f = End (V)
V = K-Vektorraum mit dim V = n
nilpotent heißt: [mm] f^{k} [/mm] = 0, k [mm] \in \IN
[/mm]
Äquivalenz der Aussagen ist zu beweisen:
1. f ist nilpotent
2. charakteristische Polynom [mm] P_{f}(X) [/mm] = [mm] (-X)^{n}
[/mm]
3. es gibt eine Basis von V, bzgl. welcher f durch eine obere Dreiecksmatrix mit lauter Nullen auf der Hauptdiagonalen dargestellt wird.
4. [mm] f^{n} [/mm] = 0
Verwendet werden darf: Für eine beliebige Matrix A [mm] \in [/mm] M(n x n,K) ist das char. Polynom Teiler der n-ten Potenz des Minimalpolynoms. |
Hallo zusammen,
habe mich schon belesen zu den einzelnen Punkten doch bekomme das alles nicht ganz unter einen Hut.
Also ich wollte zeigen aus 1. folgt 2. aus 2. folgt 3. usw..
Also ich weiß ja das nilpotent bedeutet f [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ...\circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] f das ganze k-mal ergibt 0 doch wie komme ich zum char.Polynom? Das ist ja wiederum nichts anderes als det(f - [mm] XE_{n}). [/mm] Kann ich eigentlich davon ausgehen das f in Form einer Matrix = obere Dreiecksmatrix ist mit Nullen auf der HAuptdiagonalen? Eigentlich doch nicht, oder? Das zeige ich ja auch eigentlich erst in 3. Und zum letzten Schritt habe ich mir folgendes überlegt. Das wenn k<n ist [mm] f^{n} [/mm] = 0 sein muß da ich ab k ja nur noch die Nullmatrix multipliziere und die ergibt wieder eine Nullmatrix.
Ach ja und Da ich ja auf der Hauptdiagonalen nur Nullen habe folgt daraus, das dass char. Polynom = [mm] (-X)^{n} [/mm] ist.
Ich bin irgendwie ganz durcheinander. Und wie bringe ich das nun mit dem Minimalpolynom ein?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Gruß
Vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mi 31.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Vicky,
bei solchen Beweisketten ist der Trick oft, die richtige Reihenfolge bei dem Ringschluss zu finden. Hier würde ich es statt mit 1.=>2=>... mal mit der umgekehrten Richtung versuchen: 1.=>4.=>3.=>2.=>1.
Der Knackpunkt ist hier wohl auch wieder, vom charakteristischen Polynom auf die nilpotenz zu kommen (also 2.=>1.), aber da könnte ggf. der angegebene Satz weiterhelfen (das hab ich allerdings noch nicht ganz zu Ende gedacht...).
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Do 01.06.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo und Guten Morgen,
d.h. dann also wenn ich mit aus 1. [mm] \Rightarrow [/mm] 4. losgehe usw. fange ich wie folgt an:
f ist nilpotent [mm] \Rightarrow f^{n} [/mm] = 0. Es gibt also ein k [mm] \in \IN, [/mm] wenn ich f mit sich selbst k-mal multipliziere erhalte ich Null. k kann also [mm] \le [/mm] n sein. Falls k < n so multipliziere ich ab k nur noch die Nullmatrix mit sich selbst, im Falle der Betrachtung von MAtrizen.
Kann man das so sagen?
4. [mm] \Rightarrow [/mm] 3. bedeutet: Gilt [mm] f^{n} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Basis von V, bzgl. welcher f strikte obere Dreiecksmatrix ist, also f= [mm] \pmat{ 0 & x \\ 0 & 0 }. [/mm] Multiplieziere ich Matrizen dieser Form so rückt die Diagonale mit den Einträgen ( [mm] \not= [/mm] 0) immer eins nach oben bis letzlich die Nullmatrix steht. Das ist bei f{n} = 0 der Fall kann aber auch schon früher eintreten (z.B. bei [mm] f^{k}).
[/mm]
Ich glaube hier habe ich mich in der Richtung vertan, es ist wohl eher aus 3. [mm] \Rightarrow [/mm] 4.
Aus 3. [mm] \Rightarrow [/mm] 2. also da auf der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen und unterhalb auch, ist es ja klar das das char. Polynom [mm] P_{f}(X) [/mm] = [mm] (-X)^{n} [/mm] sein muß, denn es ist ja nix anderes als det ( f - [mm] XE_{n}). [/mm]
Und aus 2 folgt 1? Vielleicht muß man ja hier das mit dem Minimalpolynom anwenden?
Also wenn [mm] P_{f}(X) [/mm] = [mm] (-X)^{n} [/mm] dann ist f nilpotent. Tja, hier bin ich leider auch überfragt. Ich bin mir auch nicht ganz sicher ob er Rest auch so gut gedacht ist. Vielleicht kann nochmal jemand drüber schauen und eventuell ein paar Bemerkungen dazu machen.
Vielen Dank für eure Bemühungen.
LG
Vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Fr 02.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Vicky!
> d.h. dann also wenn ich mit aus 1. [mm]\Rightarrow[/mm] 4. losgehe
Ich wuerde 1 => 2 => 3 => 4 => 1 zeigen. Das geht IMO einfacher.
> usw. fange ich wie folgt an:
> f ist nilpotent [mm]\Rightarrow f^{n}[/mm] = 0. Es gibt also ein
> k [mm]\in \IN,[/mm] wenn ich f mit sich selbst k-mal multipliziere
> erhalte ich Null. k kann also [mm]\le[/mm] n sein. Falls k < n so
> multipliziere ich ab k nur noch die Nullmatrix mit sich
> selbst, im Falle der Betrachtung von MAtrizen.
mit $f$, nicht mit sich selbst!
> Kann man das so sagen?
Ja. Aber was ist, wenn $k > n$ ist?
> 4. [mm]\Rightarrow[/mm] 3. bedeutet: Gilt [mm]f^{n}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \exists[/mm]
> Basis von V, bzgl. welcher f strikte obere Dreiecksmatrix
> ist, also f= [mm]\pmat{ 0 & x \\ 0 & 0 }.[/mm] Multiplieziere ich
> Matrizen dieser Form so rückt die Diagonale mit den
> Einträgen ( [mm]\not=[/mm] 0) immer eins nach oben bis letzlich die
> Nullmatrix steht. Das ist bei f{n} = 0 der Fall kann aber
> auch schon früher eintreten (z.B. bei [mm]f^{k}).[/mm]
> Ich glaube hier habe ich mich in der Richtung vertan, es
> ist wohl eher aus 3. [mm]\Rightarrow[/mm] 4.
Genau, das ist 3 => 4.
> Aus 3. [mm]\Rightarrow[/mm] 2. also da auf der Hauptdiagonalen nur
> Nullen stehen und unterhalb auch, ist es ja klar das das
> char. Polynom [mm]P_{f}(X)[/mm] = [mm](-X)^{n}[/mm] sein muß, denn es ist ja
> nix anderes als det ( f - [mm]XE_{n}).[/mm]
Ja, die andere Richtung ist allerdings ebenso klar, wenn du die Matrix trigonalisierst: Da die Eigenwerte alle 0 sind stehen dann auf der Diagonale nur noch Nullen.
> Und aus 2 folgt 1? Vielleicht muß man ja hier das mit dem
> Minimalpolynom anwenden?
Ich wuerde 1 => 2 zeigen. Da [mm] $f^k [/mm] = 0$ ist, wird das Polynom [mm] $x^k$ [/mm] durch das Minimalpolynom von $f$ geteilt. Also ist das Minimalpolynom von der Form [mm] $x^\ell$. [/mm] Ist $g$ das charakteristische Polynom, so gilt [mm] $x^\ell \mid [/mm] g [mm] \mid (x^\ell)^n [/mm] = [mm] x^{\ell n}$. [/mm] Also muss $g = [mm] \pm x^n$ [/mm] sein.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mo 02.06.2008 | | Autor: | lalalala |
hallo, ich hab genau die gleich Aufgabe zu bearbeiten:)
Ich hab die Aufgabe ähnlich gelöst, doch bei (3) [mm] \Rightarrow [/mm] (4) hab ich ein Problem. Der Eigenwert 0 kommt ja mit n-facher Vielfachheit vor und somit wäre ja f eine strikte obere Dreiecksmatrix mit n Nullen auf der Diagonalen. Dann ist doch schon f^(n-1)=0 oder nicht? klar ist dann auch [mm] f^n [/mm] =0 aber irgendwie verwirrt mich das...
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Frage kann man zwar furchtbar schlecht lesen, aber ich denke, es ist die, die Du in einer älteren Fassung des Artikels stellst:
"Ich hab die Aufgabe ähnlich gelöst, doch bei (3) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ (4) hab ich ein Problem. Der Eigenwert 0 kommt ja mit n-facher Vielfachheit vor und somit wäre ja f eine strikte obere Dreiecksmatrix mit n Nullen auf der Diagonalen. Dann ist doch schon f^(n-1)=0 oder nicht? klar ist dann auch $ [mm] f^n [/mm] $ =0 aber irgendwie verwirrt mich das... "
Hallo,
Erstens mal wäre es nicht schlimm, wenn es so wäre, aber schau Dir
[mm] A:=\pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] an: die ist erst bei [mm] A^4=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich sitze im Moment an der selben Aufgabe und zwar habe ich schon von 3 --> 2 --> 4 --> 1 und mir fehlt jetzt noch von 1 --> 3.
Ich hatte dazu in der Aufgabenstellung noch folgenden Hinweis:
ker [mm] \Phi \subset [/mm] ker [mm] \Phi^2 \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] ker [mm] \Phi^k [/mm] = V
Nun weiß ich, dass wenn [mm] \Phi [/mm] nilpotent sind der einzige Eigenwert 1 ist, wenn ich nun noch zeige, dass es eine trigonalisierbare Matrix gibt, so hätte ich ja mein Ziel erreicht, da die Eigenwerte bei Triagonalmatrizen auf der Diagonalen aufgetragen werden.
Ich hatte dann folgendes gefunden:
Es existiert eine [mm] \Phi-invariante [/mm] Fahne von V.
[mm] \gdw [/mm] Es gibt eine Basis B von V, so dass die darstellende Matrix [mm] M_B(\Phi) [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist.
Ich müsste also nur zeigen, das eine [mm] \Phi-invariante [/mm] Fahne existiert.
Das heißt, es muss eine Kette von Untervektorräumen in V geben. Nun die ist als Hinweis ja eigentlich schon gegeben. Muss ich jetzt noch irgendwie zeigen, dass diese Kette tatsächlich so gilt?
Außerdem muss [mm] dim_K V_i [/mm] = i für alle i = 0, ... , n sein
und für alle r die Inklusion [mm] \Phi (v_r) \subset V_r [/mm] gelten, denn diese bedeutet ja dass die Untervektorräume [mm] \Phi-invariant [/mm] sind.
Aber wie zeige ich das jetzt?
Danke schon mal!
LG Wiebke
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> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also ich sitze im Moment an der selben Aufgabe und zwar
> habe ich schon von 3 --> 2 --> 4 --> 1 und mir fehlt jetzt
> noch von 1 --> 3.
>
> Ich hatte dazu in der Aufgabenstellung noch folgenden
> Hinweis:
> ker [mm]\Phi \subset[/mm] ker [mm]\Phi^2 \subset[/mm] ... [mm]\subset[/mm] ker [mm]\Phi^k[/mm]
> = V
>
> Nun weiß ich, dass wenn [mm]\Phi[/mm] nilpotent sind der einzige
> Eigenwert 1 ist,
Hallo,
beides zusammen wird nicht vorkommen. Der einzige Eigenwert ist 0.
Ich weiß ja nicht, was bei Euch in der Vorlesung schon alles erzählt wurde. Die Sache ist so:
wenn das charakteristische Polynom zerfällt, ist doch die Matrix trigonalisierbar, und damit hättest Du's dann.
Gruß v. Angela
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Hallo und danke erstmal!
Ja da hat sich ein Fehler beim schreiben eingeschlichen.. ich meinte dann sind alle Eigenwerte 0...
Also mein Problem ist ja nur, woher weiß ich denn, das die Matrix in Linearfaktoren zerfällt, also trigonalisierbar ist, wenn ich als Vorraussetzung nur habe, das [mm] \Phi [/mm] nilpotent ist?
Ich hatte die Idee, zu zeigen das es eine [mm] \Phi-invariante [/mm] Fahne gibt und daher alles in Linearfaktoren zerfällt. Nur komme ich dann nicht weiter. Wie kann ich zeigen, dass diese [mm] \Phi-invariante [/mm] Fahne existiert?
Denn
ker [mm]\Phi \subset[/mm] ker [mm]\Phi^2 \subset[/mm] ... [mm]\subset[/mm] ker [mm]\Phi^k[/mm] = V
habe ich ja als Hinweis, also nehme ich an, dass muss ich nicht mehr zeigen. Dann muss ich aber noch zeigen, dass diese Untervektorräume voneinander sind und dass
[mm] dim_K V_i [/mm] = i ist für alle i = 0, ..., n
Dann wäre gezeigt, dass eine Fahne vorliegt.
Mein Anfang:
Damit ein Untervektorraum vorliegt muss gelten:
1) W [mm] \not \emptyset
[/mm]
Das ist dadurch erfüllt das zumindest immer die Null auf die Null abgebildet wird, da ein Endomorphismus vorliegt.
2) Abgeschlossenheit unter Addition.
3) Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation.
Bei beiden weiß ich nicht genau wie ich das zeigen soll, da ich ja keine genaue Menge vorliegen habe..
Bei der Dimension weiß ich auch nicht wie ich das zeigen kann.
Danach müsste ich dann nur noch zeigen dass diese Fahne [mm] \Phi-invariant [/mm] ist, das heißt:
Es gilt für alle r die Inklusion [mm] \Phi(v_r) \subset V_r.
[/mm]
Ist denn mein Weg soweit richtig? Oder geht das anders einfacher?
Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt..
Vielen Dank, Grüße Wiebke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 08.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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