normierten Erzeuger bestimmen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Mo 06.11.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in [mm] \IQ[x] [/mm] den normierten Erzeuger g des Ideals I = [mm] [/mm] wobei
[mm] f_{1} [/mm] = [mm] (x-1)^{2} (x+2)^{2} [/mm] (x-3)
= [mm] x^{5} [/mm] - [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 9x^{3} [/mm] + [mm] 5x^{2} [/mm] + 16x -12
[mm] f_{2} [/mm] = (x-1) (x+2) (x+1) (x-3)
= [mm] x^{4} [/mm] - [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 7x^{2} [/mm] + x + 6
[mm] f_{3} [/mm] = (x+2) (x-3) [mm] (x+1)^{2}
[/mm]
= [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 7x^{2} [/mm] - 13x - 6
und eine Darstellung
g = [mm] h_{1}f_{1} [/mm] + [mm] h_{2}f_{2} [/mm] + [mm] h_{3}f_{3} [/mm] mit [mm] h_{i} \in \QI[x] [/mm]
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Wie kann ich hier am geschicktesten Vorgehen? Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Muss ich den ggt von [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] bestimmen und anschließend den ggt von [mm] ggt(f_{1}, f_{2}) [/mm] und [mm] f_{3}?
[/mm]
Grüße Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Di 07.11.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Bestimmen Sie in [mm]\IQ[x][/mm] den normierten Erzeuger g des
> Ideals I = [mm][/mm] wobei
> [mm]f_{1}[/mm] = [mm](x-1)^{2} (x+2)^{2}[/mm] (x-3)
> = [mm]x^{5}[/mm] - [mm]x^{4}[/mm] - [mm]9x^{3}[/mm] + [mm]5x^{2}[/mm] + 16x -12
> [mm]f_{2}[/mm] = (x-1) (x+2) (x+1) (x-3)
> = [mm]x^{4}[/mm] - [mm]x^{3}[/mm] - [mm]7x^{2}[/mm] + x + 6
> [mm]f_{3}[/mm] = (x+2) (x-3) [mm](x+1)^{2}[/mm]
> = [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] - [mm]7x^{2}[/mm] - 13x - 6
> und eine Darstellung
> g = [mm]h_{1}f_{1}[/mm] + [mm]h_{2}f_{2}[/mm] + [mm]h_{3}f_{3}[/mm] mit [mm]h_{i} \in \IQ[x][/mm]
>
> Wie kann ich hier am geschicktesten vorgehen? Kann mir
> vielleicht jemand einen Tipp geben? Muss ich den ggT von
> [mm]f_{1}[/mm] und [mm]f_{2}[/mm] bestimmen und anschließend den ggT von
> [mm]ggT(f_{1}, f_{2})[/mm] und [mm]f_{3}?[/mm]
Du bist ein freier Mensch und mußt deswegen nichts, aber man kann mal so anfangen. Ich finde allerdings, daß man den Erzeuger fast mit bloßem Auge sieht. Etwas spannender ist dann vielleicht seine Darstellung als Linearkombination, das läuft alles ungefähr so wie in [mm] \IZ, [/mm] allerdings jetzt nicht mit Zahlen, sondern mit Polynomen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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