part. Diff. mit Störfunktion < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:38 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Man löse die folgenden partiellen Differentialgleichungen.
a) [mm] u_{xy} [/mm] + [mm] u_{x} [/mm] + x + y = 1
u(x,0) = 0, u(0,y) = 0. |
Meines Erachtens handelt es sich hierbei um eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.
Ich stehe leider beim Lösen dieser Gleichung komplett an.
Könnte das mit dem Bernoulli'schen Produktansatz (u(x,y) = X(x) * >(y)) funktionieren?
Gilt hier x + y -1 als Störfunktion oder nur 1 ?
Muss ich die Gleichung in homogene und inhomogene Gleichungen teilen?
Bin für jeden Ansatz zur Lösung dankbar!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Mi 14.11.2007 | | Autor: | kornfeld |
Eine Frage zu deiner Gleichung: ist das Gebiet [mm] $\IR^2$ [/mm] oder eine Teilmenge davon? Wenn ja, welche Teilmenge? Der erste Quadrant? Sollst du klassische Loesungen finden oder schwache? Deine PDE ist nicht elliptisch mit Stoerterm $x+y-1$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Rudy |
Das ist leider die vollständige Angabe, es ist kein Gebiet angegeben.
Als Zusatz steht noch dabei, dass Gleichungen 2. Ordnung "elementar" zu lösen sind.
Vielleicht helfen folgende Informationen weiter:
In unserem Buch wird die Gleichung über die Diskriminante klassifiziert, (demnach müsste diese PDG hyperbolisch sein). Hierbei verwenden sie ein Gebiet D [mm] \subseteq \IR^{2}, [/mm] aber keine Informationen darüber welcher Quadrant.
Ich kenne mich leider zuwenig aus, um die Annahme eines Gebietes als "sinnvoll" einzuschätzen.
Ich "rate" jetzt einfach mal an, dass das Gebiet D = [mm] \IR^{2}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Sa 17.11.2007 | | Autor: | kornfeld |
Zum Gebiet: die Gleichung aendert sich je nachdem welchen Quadranten man als Gebiet waehlt. Man kann spasseshalber mal den ersten Quadranten nehmen und gucken wie die Loesungen aussehen. Eventuell hilft das einem, die Loesungen fuer alle anderen Quadranten zu finden. Klebt man alle Loesungen zusammen (die Loesungen stimmen auf den Achsen ueberein), so muss sich nicht automatisch eine schoene glatte Loesung ergeben. Das ist allerdings nur eine Vermutung und erstmal unwichtig. Mein Tipp: setze [mm] $u_x=v$ [/mm] als neue Unbekannte, dann wird die Gleichung integrabel in $y$:
[mm] \[v(x,y)=e^{\int_0^x f(s,y) ds} [/mm] + C(x)
Check mal, ob das stimmt. Die Funktion $f$ ist die Stoerfunktion. Die Loesung kannst du explizit hinschreiben. Danach machst du dich an das Problem
[mm] \[u_x(x,y)=v(x,y)
[/mm]
Diese Gleichung ist ebenfalls integrabel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 So 18.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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