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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Es sei f: R² [mm] \to [/mm] R definiert durch
f(x,y) := xy³/x²+y² falls (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
0 falls (x,y) = (0,0)
Zeigen Sie:
(a) Die Funktion f ist zweimal partiell differenzierbar in R².
(b) Es gilt: D1D2 f(0,0) [mm] \not= [/mm] D2D1 f(0,0).
(c) Geben Sie eine partielle Ableitung DiDj an, die in (0,0) unstetig ist. |
Halli Hallo!
Da bin ich mal wieder. Glaube, wir haben uns bei der Aufgabe verrechnet.
Also, unsere 2. Ableitungen sehen folgendermaßen aus:
D1D1 = [mm] 2x^5y^3 [/mm] - [mm] 4x³y^5 [/mm] - [mm] 6xy^7 [/mm] / [mm] (x²+y²)^4
[/mm]
D1D2 = [mm] 9x²y²-15y^4x^4-2x²y^6+y^8-12x^6y² [/mm] / [mm] (x²+y²)^4
[/mm]
D2D1 = [mm] -3y²x^6+3y^4x^4+7x²y^6+y^8 [/mm] / [mm] (x²+y²)^4
[/mm]
D2D2 = [mm] 6x^7y+4x^5y³-2x³y^5 [/mm] / [mm] /x²+y²)^4
[/mm]
für den 2. Fall (also (0,0) ) kommt doch bei den Ableitungen immer 0 raus oder?!
Laut Satz von Schwarz müssten D1D2 und D2D1 doch gleich sein, aber bei uns ist es offensichtlich nicht so...!
Zu Aufgabenteil (b): Wieso ist das ungleich? Für (0,0) sind die Ableitungen doch 0 (und das beide Male) oder doch nicht?
Zur (c) ist uns aufgrund der Fragen zu den ersten beiden Teilen nix eingefallen.
Könnte von euch mal einer die Ableitungen nachrechnen und evt kurz was zu den anderen Aufgabenteilen sagen??
Wir wären euch sehr dankbar, weil wir bei uns keinen Rechenfehler finden.
Vielen Dank schonmal!
Linda & Corinna
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Also, ich kann mir nicht helfen, ich bekomme für die Ableitungen (Computer) das hier raus:
[mm] \partial_x^2f=-2\bruch{(3y²-x²)xy³}{(x²+y²)³}
[/mm]
[mm] \partial_x\partial_yf= -\bruch{(3x^4-y^4-6x²y²)y²}{(x²+y²)³}
[/mm]
[mm] \partial_y\partial_xf=\partial_x\partial_yf [/mm]
[mm] \partial_y^2f=-2\bruch{(y²-3x²)x³y}{(x²+y²)³}
[/mm]
Man beachte, daß die beiden mittleren identisch sind, und die obere und untere sich nur geringfügig unterscheiden.
Somit ist (a) schonmal abgehakt.
Allerdings sind mir (b) und (c) schleierhaft.
Oder reden wir aneinander vorbei? Eure Formel lautet doch
$ [mm] f=\begin{cases} \bruch{xy^3}{x^2+y^2} & \mbox{für } (x,y) \not=(0;0) \\ 0 & \mbox{für } (x,y)=(0;0)\end{cases}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mo 29.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Hallo!
Ich lerne zur Zeit für die mündliche Vordiplomsprüfung in Anaylsis und kenne deshalb die ganzen Sätze auswendig. Der Satz von Schwarz gilt meines Wissen nur wenn f stetig partiell diffbar ist - nur partiell diffbar ist eine zu schwache Aussage und reicht für Di Dj f = Dj Di f nicht aus!
Somit hättet ihr eine Erklärung, warum ihr in Teil a keinen Fehler findet.
Wie seid ihr bei b) vorgegangen? hier ist doch Nenner und Zähler gleich 0, also würde es sich anbieten den lim zu betrachten und de l'Hospital anzuweden... Müsste man mal ausprobieren.
Lg
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Di 30.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Hi!
Danke schonmal - dann haben wir bestimmt vergessen, irgendwo zu kürzen.
Die Funktion stimmt so, wie du sie (bzw ich) aufgeschrieben hast.
Wir haben auch keine Ahnung, warum das bei (b) gelten soll - Für den Punkt (0,0) sind doch alle Ableitungen gleich 0 - also identisch - oder sehe ich das falsch?
Naja, ist jetzt wahrscheinlich zu spät. Mal schauen!
LG
Linda
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