relativ prim < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mi 24.04.2013 | | Autor: | love |
Hallo, ich soll als HA zeigen: für [mm] n\in\IN [/mm] die Zahlen 8n + 3 und 5n + 2 relativ prim sind. Wie gehe ich hier vor? Kann mir das bitte jmnd Schritt für Schritt erklären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich soll als HA zeigen: für [mm]n\in\IN[/mm] die Zahlen 8n
> + 3 und 5n + 2 relativ prim sind. Wie gehe ich hier vor?
> Kann mir das bitte jmnd Schritt für Schritt erklären.
machen wirs ganz naiv: nimm an, die beiden Zahlen hätten einen gemeinsamen Teiler t [mm] \in \IN [/mm] mit t [mm] \ge [/mm] 2.
Dann gibt es natürliche Zahlen k und m mit:
(1) 8n+3=tk
und
(2) 5n+2=tm.
Ziehe das 5 - fache der Gl. (1) vom 8- fachen der Gl. (2) ab.
Dann solltest Du einen Widerspruch bekommen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 24.04.2013 | | Autor: | love |
So wie ich jetzt verstanden habe, muss ich ein LGS stellen:
Daraus folgt dann:
40n+15=5(tk)
- 40n+16=8(tm) Daraus folgt -1=-8(tm)+5(tk)
Soll ich jetzt für tm=1 und tk=1 einsetzen dann kommt ja da -1=-3 Widerspruch. Kann das so sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> So wie ich jetzt verstanden habe, muss ich ein LGS
> stellen:
> Daraus folgt dann:
> 40n+15=5(tk)
> - 40n+16=8(tm)
Du meinst:
$40n+15=5(tk)$
[mm] $$-\red{(}40n+16=8(tm)\red{)}$$
[/mm]
Denn was Du rechnest, ist doch dies:
$$(40n+15) [mm] \red{\text{ -- }} \red{(}40n+16\red{)}=5tk \red{\text{ -- }} \red{(}8tm\red{)}\,.$$
[/mm]
Wobei ich mir hier rechterhand die Klammern auch sparen könnte!
> Daraus folgt -1=-8(tm)+5(tk)
> Soll ich jetzt für tm=1 und tk=1 einsetzen
??? Sagst Du auch, wenn Du die Gleichung [mm] $3x=6\,$ [/mm] hast:
Soll ich nun [mm] $x=200\,$ [/mm] einsetzen? Dann bekomme ich ja einen
Widerspruch!
> dann kommt ja
> da -1=-3 Widerspruch. Kann das so sein
Nein! Aus [mm] $-1=5tk-8tm\,$ [/mm] folgt
[mm] $$t=\frac{1}{8m-5k}\,.$$
[/mm]
(Begründe auch, warum [mm] $8m-5k=0\,$ [/mm] in der Gleichung $1=8tm-5tk$ NICHT gelten kann!)
Nun gilt $t [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \iff \frac{1}{8m-5k} \ge [/mm] 2 [mm] \iff [/mm] 8m-5k [mm] \le 1/2\,.$
[/mm]
(Beachte, dass für $5k-8m < 0$ sicher $1/(5k-8m) < 0$ und daher $1/(5k-8m) [mm] \ge [/mm] 2$
unmöglich wäre!)
Wie folgt nun ein Widerspruch?
Oder anders gesagt: Es sollte $t [mm] \in \IN$ [/mm] mit $t [mm] \ge [/mm] 2$ sein, nach Annahme. Es ist aber $(8m-5k) [mm] \in \IZ \setminus \{0\}\,,$
[/mm]
weil...?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich soll als HA zeigen: für [mm]n\in\IN[/mm] die Zahlen 8n
> + 3 und 5n + 2 relativ prim sind. Wie gehe ich hier vor?
> Kann mir das bitte jmnd Schritt für Schritt erklären.
Du kannst auch den euklidischen Algorithmus benutzen, um zu
zeigen, dass der [mm] $\ggT$ [/mm] gerade 1 ist:
[mm] $$8n+3=1*(5n+2)+(3n+1)\,,$$
[/mm]
[mm] $$5n+2=1*(3n+1)+(2n+1)\,,$$
[/mm]
[mm] $$3n+1=1*(2n+1)+n\,,$$
[/mm]
[mm] $$2n+1=2*n+\red{1}\,,$$
[/mm]
[mm] $$n=n*\red{1}+0\,.$$
[/mm]
Bei [mm] $k+1\,$ [/mm] stoppt der Algorithmus, wenn [mm] $a_{k+1}=0\,,$ [/mm] und der [mm] $\ggT$ [/mm] findet sich bei
den Gleichungen
[mm] $$a_{i-1}=q_{i+1}*a_i+a_{i+1}$$
[/mm]
dann in [mm] $a_k$ [/mm] wieder. Es folgt, dass der [mm] $\ggT$ [/mm] gerade [mm] $\red{1}$ [/mm] ist!
Grundlage: Siehe etwa "Elementare und algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach und
Piontkowski!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mi 24.04.2013 | | Autor: | love |
Also wenn der ggT= 1 ist, dann spricht man von relativ prim?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also wenn der ggT= 1 ist, dann spricht man von relativ
> prim?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Mi 24.04.2013 | | Autor: | love |
vielen Dank an euch beiden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also wenn der ggT= 1 ist, dann spricht man von relativ
> prim?
ja, wobei der ggT nur bis auf Assoziiertheit eindeutig ist.
Du könntest hier also auch den [mm] $\ggT$ [/mm] zu [mm] $-1\,$ [/mm] berechnen,
sofern wir im Ring der ganzen Zahlen wären...
Gruß,
Marcel
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