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| Aufgabe 1 | [Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich] |
| Aufgabe 2 | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo liebe Mathegenies :)
Ich befinde mich im 2. Semester Bachelor Informatik und tue mich noch relativ schwer mit dem Studienfach "Lineare Algebra I". Nun müssen wir ein paar Onlineaufgabe abgeben (Multiple-Choice) und einen handschriftlichen Teil.
Ich hab soweit mein Bestes gegeben, um guten Gewissens die Lösungen vorzustellen und würde mich sehr freuen wenn mir diese wer korrigieren könnte. Bislang hab ichs so immer versucht, jedoch fehlen mir bereits jetzt Pkt. um nur an die nötigen 50% zu kommen (falsche Antworten geben Minuspunkte!) und ohne Klausurzulassung , keine Klausur. Das möchte ich auf jeden Fall vermeiden! :)
Die Multiple-Choice Aufgaben sind weitestgehend angekreuzt und die handschriftlichen Dinge werde ich chronologisch zu den obigen Bildern unter "Aufgabe 2" vorstellen:
(in allen Lösungen soll [mm] \phi [/mm] hier das in den Aufgabenstellungen benutzt 'phi' sein, jedoch gibt es das hier nicht, oder ich kenn die richtige Eingabe nicht)
30)
a)
[mm] \phi [/mm] ist Isomorphismus
nach Definition ist [mm] \phi^{-1} [/mm] ist Homomorphismus und damit hat [mm] \phi^{-1} [/mm] auch die Eigenschaften einer linearen Abbildung.
b)
Ist [mm] U\leW [/mm] ,dann ist
[mm] \phi(\phi^{-1}(U))\leU\leW [/mm] , da [mm] \phi^{-1}: [/mm] W [mm] \mapsto [/mm] V gilt
[mm] \Rightarrow \phi^{-1}(U)\le\phi^{-1}(W)\le [/mm] V
[mm] \Rightarrow \phi^{-1}(U)\le [/mm] V
c)
Sei o.B.d.A
[mm] x\in [/mm] , dann gibt es eine Linearkombination
[mm] X=\summe_{i=0}^{|M|}\lambda_{i}v_{i} [/mm] | [mm] \lambda_{i}\inK, v_{i}\inM
[/mm]
Aus den Eigenschaften linearer Abbildungen folgt
[mm] \phi(X)=\phi(\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}) [/mm] = [mm] \lambda_{1} \phi(v_{1})+...+\lambda_{n}\phi(v_{n})\in<\phi(M)>
[/mm]
Daher gilt
[mm] \forall x\in\phi() [/mm] | [mm] x\in<\phi(M)>
[/mm]
Es folgt:
[mm] <\phi(M)>=\phi()
[/mm]
d)
Wir nehmen an M wäre nicht l.u. .
Dann gilt:
[mm] \exists x\in [/mm] M | x = [mm] \summe_{i=1}^{|M|-1}\lambda_{i}v_{i} [/mm] , [mm] \lambda_{i}\in [/mm] K , [mm] v_{i}\in [/mm] M \ [mm] \{x\}
[/mm]
Aus den Eigenschaften einer linearen Abb. und der Eindeutigkeit, durch Injektivität, folgt
[mm] |M|=|\phi(M)|
[/mm]
[mm] \phi(x)=\phi(\summe_{i=1}^{|M|-1}\lambda_{i}v_{i}) [/mm] = [mm] \lambda_{1} \phi(v_{1})+...+\lambda_{n}\phi(v_{n})\in\phi(M) [/mm] , [mm] \lambda_{1}\in [/mm] K , [mm] v_{i}\in [/mm] M \ [mm] \{x\}
[/mm]
So würde es eine Linearkombination in [mm] \phi(M) [/mm] geben und [mm] \phi(M) [/mm] wäre nicht l.u. .
Beweis durch Kontraposition. [mm] \Box
[/mm]
e)
Sei B Basis von U so gilt:
|B| = dim(U)
Da [mm] \phi [/mm] injektiv gilt nach Vorlesung
[mm] \phi(B)=B_{\phi} [/mm] ist Basis von [mm] \phi(U)
[/mm]
[mm] |B|=|B_{\phi}| \Rightarrow dim(\phi(U))=|B_{\phi}|=|B|=dim(U)
[/mm]
31)
1)
a)
Zu zeigen ist:
[mm] \phi(X [/mm] + Y) = [mm] \phi(X) [/mm] + [mm] \phi(Y) [/mm] X,Y [mm] \in [/mm] V
[mm] \phi(tX) [/mm] = [mm] t\phi(X) [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
Sei o.B.d.A.:
[mm] X=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] Y=\pmat{ e & f \\ g & h } [/mm] e,f,g,h [mm] \in \IR
[/mm]
Zeige:
A(X + Y)A = AXA +AYA
= [mm] A\pmat{ a+e & b+f \\ c+g & d+h }A [/mm] = [mm] A\pmat{ a & b \\ c & d }A [/mm] + [mm] A\pmat{ e & f \\ g & h }A
[/mm]
[mm] =\pmat{ c+g & d+h \\ c+g & d+h }A [/mm] = [mm] \pmat{ c & d \\ c & d }A [/mm] + [mm] \pmat{ g & h \\ g & h }A
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & c+g+d+h \\ 0 & c+g+d+h } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & c+d \\ 0 & c+d } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & g+h \\ 0 & g+h }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & c+g+d+h \\ 0 & c+g+d+h }
[/mm]
Zeige:
A(tX)A = t(AXA)
[mm] =A\pmat{ ta & tb \\ tc & td }A [/mm] = [mm] t(\pmat{ c & d \\ c & d }A)
[/mm]
[mm] =\pmat{ tc & td \\ tc & td }A =t\pmat{ 0 & c+d \\ 0 & c+d }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & tc+td \\ 0 & tc+td } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & tc+td \\ 0 & tc+td }
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist linear. [mm] \Box
[/mm]
b)
[mm] B_{Ker} :=\{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }\}
[/mm]
[mm] B_{Im} [/mm] := [mm] \{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }\}
[/mm]
c)
[mm] B_{Y} [/mm] = [mm] B_{Ker} \cup \{\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\}
[/mm]
2)
Sei B Basis von V.
Sei nun o.B.d.A.
[mm] B:=\{\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 2 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 0 \\ 2 }\}
[/mm]
Dadurch ist die Abbildung genau definiert durch:
[mm] e_{1}=\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 } \mapsto \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] e_{2}=\pmat{ 0 \\ 2 \\ 0 } \mapsto \pmat{ 2 & 0 \\ -2 & 0 }
[/mm]
[mm] e_{3}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 2 } \mapsto \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & -2 }
[/mm]
Alle anderen Elemente aus V ergeben sich als Linearkombination aus B.
Daraus folgt:
[mm] (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3})\pmat{ a \\ b \\ c } \mapsto \pmat{ \lambda_{1}a+\lambda_{2}b & 0 \\ -\lambda_{2}b & -\lambda_{3}c }
[/mm]
Ich bedanke mich schon mal im Vorraus für die Mühe und ich hoffe, dass ich nicht ganz versagt habe ;)
lG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Mi 11.05.2011 | | Autor: | bluedragon |
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Hallo,
Dein Anliegen ist für jemanden, der das korrigieren soll, sehr aufwendig, denn es ist ja über 30 kleine Aufgaben, die hier zu korrigieren sind.
Da wir bei den mc-Aufgaben überhaupt nicht sehen, was Du Dir bei Ankreuzen gedacht hast, ist eine im Sinne des Forums sinnvolle Korrektur kaum möglich.
Für Antwortgeber sind weiter Scans immer sehr unkomfortabel, weil man nichts herauskopieren kann.
Dies nur zur Erklärung, warum Du bei Deinen sehr unkomplizierten Aufgaben so lange warten mußt.
Wenn Du jede Aufgabe brav eintippst, Deine Gedanken, die zur Lösung geführt haben, mitteilst, wirst Du vermutlich schnell Antwort bekommen.
Die Zeit mußt dann Du investieren - und nicht die Antwortgeber...
Gruß v. Angela
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>
> Die Multiple-Choice Aufgaben sind weitestgehend angekreuzt
Hallo,
am besten teilst Du mal zu den Ankreuzaufgaben Deine Überlegungen mit, und zwar mit jeweils einer Rückfrage für die Aufgaben 26-29.
Wir wollen ja nicht, daß hier alles in einem großen Chaos endet.
> 30)
> a)
> [mm]\phi[/mm] ist Isomorphismus
> nach Definition ist [mm]\phi^{-1}[/mm] ist Homomorphismus
"Definiert" habt Ihr sicher nicht, daß [mm] \phi^{-1} [/mm] ein Homomorphismus ist.
Möglicherweise habt Ihr in der Vorlesung bereits gezeigt, daß die Umkehrabbildung eines Homomorphismus, sofern vorhanden, wieder ein Homomorphismus ist.
Hier wird von Dir erwartet, daß Du vorrechnest, daß [mm] \phi^{-1} [/mm] eine lineare Abbildung ist.
Was mußt Du dafür zeigen?
> und damit
> hat [mm]\phi^{-1}[/mm] auch die Eigenschaften einer linearen
> Abbildung.
>
> b)
Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß [mm] \phi^{-1}(U) [/mm] ein Unterraum von V ist. (Unterraumkriterien!)
> Ist [mm]U\le W[/mm] ,dann ist
> [mm]\phi(\phi^{-1}(U))\le U\le W[/mm]
Das ist lediglich eine Behauptung.
Es ist richtig, daß [mm] \phi(\phi^{-1}(U))\red{\subseteq} [/mm] U,
aber davon, daß das ein Unterraum von U ist, müßte man mich erstmal überzeugen.
Ich bin nicht bereit, das "einfach so" zu glauben - außerdem ist mir gerade nicht klar, wofür Du diese Aussage verwenden willst.
> , da [mm]\phi^{-1}:[/mm] W [mm]\mapsto[/mm] V
> gilt
> [mm]\Rightarrow \phi^{-1}(U)\le\phi^{-1}(W)\le[/mm] V
Auch hier scheinst Du die Unterraumeigenschaft mit der Teilmengeneigenschaft zu verwechseln.
> [mm]\Rightarrow \phi^{-1}(U)\le[/mm] V
>
> c)
> Sei o.B.d.A
> [mm]x\in[/mm] , dann gibt es eine Linearkombination
> [mm]X=\summe_{i=0}^{|M|}\lambda_{i}v_{i}[/mm] | [mm]\lambda_{i}\in K, v_{i}\in M[/mm]
Wenn |M| nicht endlich ist, kannst Du so nicht argumentieren.
Dann müßtest Du schreiben:
... dann gibt es ein [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm]x=\summe_{i=0}^{n}\lambda_{i}v_{i}[/mm]
>
> Aus den Eigenschaften linearer Abbildungen folgt
> [mm]\phi(X)=\phi(\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n})[/mm] =
> [mm]\lambda_{1} \phi(v_{1})+...+\lambda_{n}\phi(v_{n})\in<\phi(M)>[/mm]
Ja.
>
> Daher gilt
> [mm]\forall x\in\phi()[/mm] | [mm]x\in<\phi(M)>[/mm]
> Es folgt:
> [mm]<\phi(M)>=\phi()[/mm]
Nein.
Du hast bisher erst gezeigt: [mm] \phi()\subseteq <\phi(M)>.
[/mm]
>
> d)
> Wir nehmen an M wäre nicht l.u. .
Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] M und [mm] v_1,...v_n\in [/mm] M mit [mm] x\not=v_i [/mm] und
[mm] x=\summe_{i=1}^n\lambda_iv_i [/mm] für passende [mm] \lambda_i \in [/mm] K.
> Dann gilt:
> [mm]\exists x\in[/mm] M | x = [mm]\summe_{i=1}^{|M|-1}\lambda_{i}v_{i}[/mm]
> , [mm]\lambda_{i}\in[/mm] K , [mm]v_{i}\in[/mm] M \ [mm]\{x\}[/mm]
> Aus den Eigenschaften einer linearen Abb. und der
> Eindeutigkeit, durch Injektivität, folgt
> [mm]|M|=|\phi(M)|[/mm]
Das ist eine Behauptung.
Du müßtest ggf. zeigen, wie sie folgt.
Aber Du brauchst sie hier gar nicht.
Mach einfach (mit der richtigen Summationsgrenze) so weiter, wie Du es tust.
> [mm]\phi(x)=\phi(\summe_{i=1}^{|M|-1}\lambda_{i}v_{i})[/mm] =
> [mm]\lambda_{1} \phi(v_{1})+...+\lambda_{n}\phi(v_{n})\in\phi(M)[/mm]
> , [mm]\lambda_{1}\in[/mm] K , [mm]v_{i}\in[/mm] M \ [mm]\{x\}[/mm]
> So würde es eine Linearkombination in [mm]\phi(M)[/mm] geben
als welche man [mm] \phi(x) [/mm] schreiben kann,
> und
> [mm]\phi(M)[/mm] wäre nicht l.u. .
> Beweis durch Kontraposition. [mm]\Box[/mm]
>
> e)
> Sei B Basis von U so gilt:
> |B| = dim(U)
Ja.
>
> Da [mm]\phi[/mm] injektiv gilt nach Vorlesung
> [mm]\phi(B)=B_{\phi}[/mm] ist Basis von [mm]\phi(U)[/mm]
> [mm] |B|=|B_{\phi}| [/mm]
Warum ist das so?
Eine kurze Begründung anzugeben, wäre sicher gut.
> [mm] \Rightarrow dim(\phi(U))=|B_{\phi}|=|B|=dim(U)
[/mm]
Ja.
Gruß v. Angela
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