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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Di 23.10.2007 | | Autor: | sandia |
| Aufgabe | Es sei X = [mm] {H_{1},H_{2}} [/mm] mit
[mm] H_{1} [/mm] = [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y (S(y,R(x,y)) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \sim [/mm] R (x,y) = x [mm] \to \sim [/mm] x = y))
[mm] H_{2} [/mm] = [mm] \sim \exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y ( [mm] \sim [/mm] R(x,y) = x [mm] \wedge \sim [/mm] R(x,y) = y)
Überprüfen Sie, ob X semantisch unabhängig bzw. semantisch widerspruchsfrei ist und beweisen Sie Ihre Antwort.
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Ich finde leider kein Modell, welches diese Aufgabe erfüllt.
Ich weiß, dass wenn die semantische Widerspruchsfreiheit gilt, dann existiert ein Modell w mit [mm] H_{1}, H_{2} \in ag_{w}^{B}.
[/mm]
Und für semantische Unabhängigkeit gilt, dass ein Modell w existiert, in dem [mm] H_{1} \in ag_{w}^{B} \wedge H_{2} \not\in ag_{w}^{B}.
[/mm]
Ich habe beim Suchen eines Modells nur das Problem, dass ich speziell in dieser Aufgabe nicht unterscheiden kann, welches Relation und welches Funktion ist .
Ich wäre unheimlich dankbar, wenn sich bei euch eine Lösung für dieses Problem oder wenigstens ein Ansatz dafür finden könnte.
Viel Spaß dabei ;) ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Grüße!
Korrigiere mich, wenn ich falsch liege, aber allem Anschein nach handelt es sich bei R um eine Funktion (sonst würde $R(x,y) = x$ wenig Sinn machen) und bei $S$ um eine Relation.
Die zweite Aussage kann man doch wie folgt umformen:
[mm] $H_2 [/mm] = [mm] \; \forall \; [/mm] x [mm] \; \forall \; [/mm] y [mm] \big(R(x,y) [/mm] = x [mm] \vee [/mm] R(x,y) = [mm] y\big)$
[/mm]
Für Unabhängigkeit und Widerspruchsfreiheit spielt der erste Teil von [mm] $H_1$ [/mm] keine Rolle, da $S$ ja in [mm] $H_2$ [/mm] gar nicht vorkommt. In einem Modell, bei dem $S$ immer wahr ist, ist dieser Teil immer erfüllt. Der zweite Teil der Konjunktion [mm] $H_1$ [/mm] sagt, etwas anders geschrieben:
$R(x,y) [mm] \not= [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not= [/mm] y$ bzw. $x = y [mm] \Rightarrow [/mm] R(x,y) = x$
Nimm also ein Modell mit nur einem Element $X$ und definiere die Relation $S(X,X)$ als wahr und die Funktion entsprechend durch $R(X,X) := X$. Dann sind [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $H_2$ [/mm] offensichtlich beide erfüllt.
Unabhängig sind die Aussagen aber auch: Nimm dazu ein Modell mit mindestens drei Objekten $X,Y$ und $Z$, definiere erneut $S$ als immer erfüllt und setze $R(x,x) = x$ für $x [mm] \in \{X,Y,Z\}$. [/mm] Damit ist [mm] $H_1$ [/mm] erfüllt. Wenn aber z.B. $R(X,Y) = Z$ gilt, dann ist [mm] $H_2$ [/mm] in diesem Modell nicht erfüllt.
Alles klar? Falls nicht, frag einfach nochmal nach. 
Liebe Grüße,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Di 23.10.2007 | | Autor: | sandia |
Vielen Dank Lars!!!
Ich glaub ich komm langsam aber sicher vorwärts ... Für mich ist es wirklich nicht einfach hinter diese Strukturen zu steigen. Ich weiß, eigentlich sollte ich ein Auge dafür haben, aber im moment ist es noch ein totales chaos.
Ich danke nochmal und hoffe nun damit arbeiten zu können ... :)
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