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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Sa 31.05.2008 | | Autor: | puldi |
hallo,
wenn ich senkr. asymptote bestimmen soll, muss ich dann immer schauen, wo die funktion nicht definiert ist
also bei ln dann z.B ln = 0 setzen?
waagerechte asymptoten erhalte ich ja immer durch polynomdivison?!
Danke!
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Hi,
eine senkrechte Asymptote liegt immer dort vor, wo eine Polstelle ist . In den meisten Fällen ist diese dort, wo die Funktion nicht definiert ist (Definitionslücke). Es könnte aber auch sein, dass eine Definitionslücke nicht zugleich Polstelle ist; man spricht dann von einer stetig hebbaren Definitionslücke. Um herauszufinden, was von beiden vorliegt, gibt es folgende Verfahren:
1. Du schaust dir an, wie sich die Funktion an ihren Rändern (--> Definitionslücken) verhält. Strebt der Ausdruck (limes...) gegen Unendlich, also gegen einen uneigentlichen Grenzwert, handelt es sich um eine Polstelle. Je nachdem, wie links und rechts von der Def.-Lücke das Verhalten ist, spricht man von einer Polstelle mit / ohne Vorzeichenwechsel (VZW). Andernfalls liegt eine stetig hebbare Definitionslücke vor (bildlich: ein "Loch" im Graphen).
2. Du schreibst die Funktion in vollständig gekürzter Schreibweise auf und schaust, ob im Zähler UND im Nenner der Ausdruck "0" herauskommt, dann ist es eine stetig hebbare Def.-Lücke. Ist hingegen nur im Nenner das der Fall, ist es eine Polstelle --> senkrechte Asymptote. Du darfst jedoch nur soweit kürzen, dass der Definitionsbereich der Funktion bzgl. des ursprünglichen Terms nicht verändert wird!
Wie du richtig gesagt hattest, kannst du die Gleichung einer nicht senkrechten Asymptote durch Polynomdivision bestimmen, sofern die Funktion für +/- Unendlich gegen uneigentliche Werte strebt.
Beispiel für eine Funktion mit stetig hebbarer Definitionslücke ist:
[mm]f(x)=\bruch{x^2-2x}{x-2} =\bruch{x(x-2)}{x-2} \not= x[/mm]. Du darfst hier also das x-2 nicht kürzen, weil dadurch der ursprüngliche Definitionsbereich [mm]D= \IR \setminus \{ 2 \}[/mm] verändert werden würde. Zähler und Nenner liefern eingesetzt jeweils den Wert "0". Diese Funktion ist im Grunde genommen die Gerade mit f(x)=x, mit der Ausnahme, dass an der Stelle 2 ein Loch besteht.
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