simpson Regel < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 18.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | Bestimme nährungsweise den wert des Intergrals [mm] \integral_{0}^{4}{x^2e^{-5x} dx} [/mm] durch vielfache Verwendung der Simpson Regel auf äquidistanten Intervalle. Begründen Sie Kurz, wie sich bei gleichem Aufwand(gemeseen in Funktionsauswertungen des Integranden) der Wert genauer approximieren lässt. |
hallo,
ich habe erstmal den intervall [0,4] in gleich große teilintervalle zerlegt d.h
[0,1][1,2][2,3][3,4]. Dann habe ich jeweils auf die Teilintervalle die simpson regel angewendet.
simpson regel:
[mm] \integral_{x_0}^{x_0+h}{f(x) dx} \approx \bruch{h}{6}(f(x_0)+4f(x_0+h/2)+f(x_0+h))
[/mm]
man erhält dann: h=1
[mm] \bruch{1}{6}((f(0)+4f(1/2)+f(1))+(f(1)+4f(3/2)+f(2))+(f(2)+4f(5/2)+f(3))+(f(3)+4f(7/2)+f(4))
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{6}(e^{\bruch{-5}{2}}+ 2e^{-5}+9e^{\bruch{-25}{2}}+8e^{\bruch{-10}{2}}+25e^{\bruch{-25}{2}}+18e^{\bruch{-15}{2}}+49e^{\bruch{-35}{2}}+16e^{-20})
[/mm]
ist es richtig was ich da gemacht habe?
den 2. Teil verstehe ich leider nicht was damit gemeint ist, kann mir das jemand erklären. dankeschön im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 So 19.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mimo1,
> Bestimme nährungsweise den wert des Intergrals
> [mm]\integral_{0}^{4}{x^2e^{-5x} dx}[/mm] durch vielfache Verwendung
> der Simpson Regel auf äquidistanten Intervalle. Begründen
> Sie Kurz, wie sich bei gleichem Aufwand(gemeseen in
> Funktionsauswertungen des Integranden) der Wert genauer
> approximieren lässt.
> hallo,
>
> ich habe erstmal den intervall [0,4] in gleich große
> teilintervalle zerlegt d.h
> [0,1][1,2][2,3][3,4]. Dann habe ich jeweils auf die
> Teilintervalle die simpson regel angewendet.
>
> simpson regel:
> [mm]\integral_{x_0}^{x_0+h}{f(x) dx} \approx \bruch{h}{6}(f(x_0)+4f(x_0+h/2)+f(x_0+h))[/mm]
So steht es bestimmt nicht in eurem Skript.
> man erhält dann: h=1
> [mm] \bruch{1}{6}((f(0)+4f(1/2)+f(1))+(f(1)+4f(3/2)+f(2))+(f(2)+4f(5/2)+f(3))+(f(3)+4f(7/2)+f(4))
[/mm]
Richtig.
> [mm] =\bruch{1}{6}(e^{\bruch{-5}{2}}+ 2e^{-5}+9e^{\bruch{-25}{2}}+8e^{\bruch{-10}{2}}+25e^{\bruch{-25}{2}}+18e^{\bruch{-15}{2}}+49e^{\bruch{-35}{2}}+16e^{-20})
[/mm]
Der eine oder andere Summand ist falsch.
> ist es richtig was ich da gemacht habe?
Ja.
> den 2. Teil verstehe ich leider nicht was damit gemeint
> ist, kann mir das jemand erklären. dankeschön im voraus.
Du bist oben durch zwölf Funktionsauswertungen auf eine Approxi-
mation gekommen. Bei der Betrachtung deiner Rechnung fällt auf,
dass wir zum Beispiel statt [mm] $f(1)+f(1)\$ [/mm] auch [mm] $2f(1)\$ [/mm] schreiben können.
Damit sparen wir hier insgesamt drei Funktionsauswertungen, die
wir benutzen können um die Anzahl der Intervalle zu erhöhen und
somit die Approximationen zu verbessern. Beschreibe demnach das
Problem noch einmal ausführlich und genau(!) und "kürze" das Ver-
fahren.
Übrigens kannst du durch zweimalige partielle Integration das
korrekte Ergebnis berechnen. Damit kannst du dir dann am Ende
den "Fehler" genauer anschauen. Allerdings kann ich mir vor-
stellen, das ihr schon Fehlerabschätzungen bezüglich der Ver-
fahren in der Vorlesung behandelt habt, sodass sich das auch
erübrigt. Es sollte trotzdem eine gute Übung darstellen.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 So 19.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
danke für deine hilfe:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
hallo, ich hätte dazu noch eine frage:
du schreibst durch das zusammenfassen der funktionsauswerungen z.b bei f(1)+f(1) indem wir 2f(1) schreiben, können wir an funktionsauswertungen sparen und die anzahl der intervall erhöhen sich und dadurch wird die approximierung verbesssert. aber meine fragen ist jetzt wie wirkt sich die verbesserung der approx. und die erhöhung der anzahl der intervalle durch die einsparung der funktionsauswerungen, da ich indem fall nichts verändere an den werten nur zusammenfasse z.B nehme f(1)=2 dann ist [mm] f(1)+f(1)=2+2=4=2\cdot 2=2\cdot [/mm] f(1)
ich hoffe meine frage ist verständlich herübergekommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:22 Di 21.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> hallo, ich hätte dazu noch eine frage:
> du schreibst durch das zusammenfassen der
> funktionsauswerungen z.b bei f(1)+f(1) indem wir 2f(1)
> schreiben, können wir an funktionsauswertungen sparen
Ja.
> und
> die anzahl der intervall erhöhen sich und dadurch wird die
> approximierung verbesssert.
Nein. Durch das "Sparen" an den Funktionsauswertungen können wir
die Anzahl der Intervalle [mm] $N\$ [/mm] erhöhen, sodass wir eine bessere Ap-
proximation erhalten. Die Anzahl der Intervalle erhöhen zwar die
Funktionsauswertungen, aber bei der richtigen Anzahl der Inter-
valle wird die Anzahl der Funktionsauswertungen insgesamt nicht
größer als zuvor, sodass wir eventuell nicht nur an Funktions-
auswertungen sparen, sondern gleichzeitig auch die Approximation
verbessern.
> aber meine fragen ist jetzt wie
> wirkt sich die verbesserung der approx. und die erhöhung
> der anzahl der intervalle durch die einsparung der
> funktionsauswerungen, da ich indem fall nichts verändere
> an den werten nur zusammenfasse z.B nehme f(1)=2 dann ist
> [mm]f(1)+f(1)=2+2=4=2\cdot 2=2\cdot[/mm] f(1)
> ich hoffe meine frage ist verständlich herübergekommen
Siehe oben. Ich habe mit Absicht den Tipp gegeben von der Aufgabe
"wegzukommen" und das Problem allgemeiner zu betrachten.
1) [mm] $\IN\ni [/mm] N$-aquidistante Unterteilung von [mm] $[a,b]=[x_k,x_{k+1}]$ [/mm] mit [mm] h=\frac{b-a}{N} [/mm] und [mm] x_k=a+k*h.
[/mm]
2) Demnach addiere
[mm] \frac{h}{6}\left(f(x_k)+4*f(\frac{x_k+x_{k+1}}{2})+f(x_{k+1})\right) [/mm] für [mm] k=\{0,1,\ldots,N\} [/mm] (Simpsonregel).
3) "Kürze" obiges.
4) Berechne die Funktionsauswertungen vor und nach der Kürzung.
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