stetigkeit (gleichmäßig Lipsch < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Di 24.01.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f : [0,1[ [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \wurze{x}. [/mm] Zeigen Sie:
(i) f ist gleichmäßig stetig.
(ii) f ist nicht Lipschitz stetig. |
(Frage zuvor nicht gestellt)
hey leute, hab den teil (i) folgendermaßen gelöst, hoffe das ist richtig:
|f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] : [mm] |x-y|<\delta
[/mm]
[mm] \wurzel{x}-\wurzel{y}<\varepsilon
[/mm]
[mm] x-y<\varepsilon^2 =:\delta
[/mm]
und bei der (ii) hänge ich hier fest:
|f(x)-f(y)| [mm] \leq [/mm] L*|x-y|
[mm] \bruch{\wurzel{x}-\wurzel{y}}{|x-y|} \leq [/mm] L
der teil links von dem [mm] "\leq" [/mm] sieht monoton fallend aus und daraus würde ich schließen, dass es ein solches L gibt, für das die Bedingung gelten würde, aber das ist ja schon laut aufgabenstellung falsch :(
hat da vieleicht jemand einen Vorschlag ?
danke im voraus :) gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 24.01.2006 | | Autor: | Janyary |
also zuerst einmal, ganz so einfach kannst du dir das dann doch nicht machen, bzw. solltest du in deinem loesungsweg noch einige zwischenschritte aufschreiben.
zuerst mal, deine funktion ist [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] oder? das wurde zumindest bei mir nicht so angezeigt.
du sagst ja, dass [mm] |\wurzel{x}- \wurzel{y}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |x-y|<\varepsilon^{2}:=\delta
[/mm]
aber [mm] |\wurzel{x}- \wurzel{y}|^{2}\not=|x-y|
[/mm]
die idee an sich ist aber nicht schlecht. allerdings solltest du dafuer nen kleinen beweis dazu schreiben, indem du deinen term [mm] \wurzel{x}- \wurzel{y} [/mm] nach oben abschaetzt.
zeige, dass [mm] \wurzel{x}- \wurzel{y}<\wurzel{x-y} [/mm] gilt.
da [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] monoton wachsend ist (sei o.B.d.A. 0<=x<y)
[mm] x=\wurzel{x^{2}}=\wurzel{x*x}<=\wurzel{x*y} [/mm] |(-2)
[mm] -2*x>=-2*\wurzel{x*y} [/mm] |+x |+y
[mm] y-x>=x-2*\wurzel{x*y}+y=(\wurzel{y}-\wurzel{x})^{2}
[/mm]
daraus folgt: [mm] \wurzel{y-x}>=\wurzel{(\wurzel{y}-\wurzel{x})^{2}}
[/mm]
dabei kannst du dann folgern, dass
[mm] |x-y|<\delta \to |f(x)-f(y)|=|\wurzel{x}- \wurzel{y}|<\wurzel{|x-y|}<\wurzel{\delta}=\wurzel{\varepsilon^{2}}=\varepsilon [/mm] gilt.
hm, so ich hofffe, dass ich jetzt einigermassen nachvollziehbar aufgeschrieben.
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