summe von fkt.folgen konverg. < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Di 07.08.2012 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | | Seien [mm] $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] und [mm] $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Funktionenfolge mit, die gleichmäßig gegen $f$ und $g$konvergieren. Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge [mm] (f_n+g_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] gleichmäßig konvergieren. |
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] >0$. Dann gib es [mm] $N_f,N_g\in\mathbb{N}$, [/mm] sodass
$(i)$ [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon/2$ $\forall n\ge N_f, x\in\mathbb{R}$
[/mm]
$(ii)$ [mm] $|g_n(x) [/mm] - g(x)| < [mm] \varepsilon/2$ $\forall n\ge N_g, x\in\mathbb{R}$
[/mm]
Ausder Dreiecksungleichung folgt dann:
[mm] $|(f_n(x)-f(x))+(g_n(x)-g(x))|=|(f_n(x)+g_n(x))-(f(x)+g(x))|\le |f_n(x)-f(x)|+|g_n(x)-g(x)|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$ $\forall n\ge N:=max(N_f,N_g), \forall x\in\mathbb{R}$
[/mm]
also ist auch [mm] $f_n+g_n$ [/mm] gleichmäßig konvergent.
ist das so richtig bewiesen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Di 07.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm](f_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] und [mm](g_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm]
> eine Funktionenfolge mit, die gleichmäßig gegen [mm]f[/mm] und
> [mm]g[/mm]konvergieren. Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge
> [mm](f_n+g_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] gleichmäßig konvergieren.
> Sei [mm]\varepsilon >0[/mm]. Dann gib es [mm]N_f,N_g\in\mathbb{N}[/mm],
> sodass
>
> [mm](i)[/mm] [mm]|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon/2[/mm] [mm]\forall n\ge N_f, x\in\mathbb{R}[/mm]
>
> [mm](ii)[/mm] [mm]|g_n(x) - g(x)| < \varepsilon/2[/mm] [mm]\forall n\ge N_g, x\in\mathbb{R}[/mm]
>
> Ausder Dreiecksungleichung folgt dann:
>
> [mm]|(f_n(x)-f(x))+(g_n(x)-g(x))|=|(f_n(x)+g_n(x))-(f(x)+g(x))|\le |f_n(x)-f(x)|+|g_n(x)-g(x)|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon[/mm]
> [mm]\forall n\ge N:=max(N_f,N_g), \forall x\in\mathbb{R}[/mm]
>
> also ist auch [mm]f_n+g_n[/mm] gleichmäßig konvergent.
>
>
> ist das so richtig bewiesen?
Ja
FRED
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