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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:52 Do 25.10.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Sei (X,A,f) ein Maßraum. zeigen Sie, dass dann für a1, a2,.....an aus A gilt:
f(Vereinigung der ak für k=1 bis n)=Summe über k=1 bis n von ((-1)hoch k) mal Summe von 1 kleiner gleich n1 kleiner n2...kleiner nk kleiner gleich n über(f(schnitt von l=1 bis k anl) |
Ich würde das per Induktion machen komme aber nicht über die Induktionsvorraussetzung hinaus, aber für n=1 und n=2 gilt es.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Fr 26.10.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
> Sei (X,A,f) ein Maßraum. zeigen Sie, dass dann für a1,
> a2,.....an aus A gilt:
> f(Vereinigung der ak für k=1 bis n)=Summe über k=1 bis n
> von ((-1)hoch k) mal Summe von 1 kleiner gleich n1 kleiner
> n2...kleiner nk kleiner gleich n über(f(schnitt von l=1 bis
> k anl)
> Ich würde das per Induktion machen komme aber nicht über
> die Induktionsvorraussetzung hinaus, aber für n=1 und n=2
> gilt es.
ich denke, du wirst eher eine reaktion bekommen, wenn du diese aufgabe mit dem Formeleditor setzt. so ist sie jedenfalls unlesbar.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Sa 27.10.2007 | | Autor: | verkackt |
Hallo Matthias, ich habe dieselbe aufgabe zu lösen.Ich schreib also nochmal die aufgabenstellung:
Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum.Zeigen Sie, dass dann für alle [mm] A_{1},...,A_{n} \in \mathcal{A} [/mm] gilt:
[mm] \mu(\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}) =\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \summe_{1\le n_{1}
Ich habe versucht mit Induktion diese Aufgabe zu beweisen, aber irgendwo bin ich gescheitert.Ich hoffe, dass jemand mir helfen kann.
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Grüße!
So wie ich das sehe kommt man mit einer einfachen Induktion tatsächlich zum Ziel. Alles was man braucht ist diese Formel:
[mm] $\mu(A \cup [/mm] B) = [mm] \mu(A) [/mm] + [mm] \mu(B) [/mm] - [mm] \mu(A \cap [/mm] B)$
Diese ist der Induktionsanfang für $n = 2$ wenn man mag und hiflt auch im Induktionsschritt weiter.
Ich schreibe den Anfang mal auf:
[mm] $\mu\left( \bigcup_{k=1}^n A_k \right) [/mm] = [mm] \mu \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right) [/mm] + [mm] \mu(A_n) [/mm] - [mm] \mu\left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \cap A_n \right)$
[/mm]
Nun kann die Induktionsvoraussetzung auf beide Klammern mit der Vereinigung angewandt werden, da nur über $n-1$ Mengen vereinigt wird. Der vordere Ausdruck liefert dann alle möglichen Schnitte, die [mm] $A_n$ [/mm] nicht enthalten und die hintere liefert alle Schnitte, die [mm] $A_n$ [/mm] enthalten, wobei das - für die nötige Vorzeichenverschiebung sorgt. Einige elementare Umformungen und ihr seid am Ziel.
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:08 So 28.10.2007 | | Autor: | kittie |
hallo lars,
beschäftige mich der gleicen Aufgabenstellung.
Den Induktionsanfang bekomme ich ja noch hin;)
Aber bei Induktionsschritt geh ich dann leider völlig unter.
Kann auch mit deinem Anfang davon leider nicht viel anfangen.:(
Willst du damit die inklusion von n-1 [mm] \to [/mm] n zeigen, oder verstehe ich da was falsch?
Hoffe du kannst mir da helfen, bekomme es nämlich leider überhaupt nicht auf die Reihe mit dem Induktionsschritt.
Vliele liebe Grüße, kittie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Di 30.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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