transformation < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Do 26.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Berechnen Sie die Hauptachsen der Fläche, die durch
>
> [mm]x_1^2+4x_1x_2+8x_1x_3- 2x_2^2+4x_2x_3+x_3^2=1[/mm]
>
> gegeben wird. Um was für eine Art von Fläche handelt es
> sich? Welche Drehmatrix ergibt sich aus den Hauptachsen?
>
> [mm]x_1^2+4x_1x_2+8x_1x_3- 2x_2^2+4x_2x_3+x_3^2=1[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 1}[/mm]
>
> ist die matrix richtig? gibt es eine regel wie man die
> matrix aus der gleichung ablesen kann?
Du hast eine quadratische Form
[mm] x_1^2+4x_1x_2+8x_1x_3- 2x_2^2+4x_2x_3+x_3^2=1
[/mm]
die Du in der Form [mm] x^{T}Ax [/mm] mit einer symetrischen Matrix A darstellen musst. Es gilt
[mm] x^{T}Ax=\summe_{i=1,j=1}^{3}A_{i,j}x_ix_j=\summe_{i=1}^{3}A_{i,i}x_i^2+2\summe_{i=1,i
Daraus kannst Du die Matrixelemente ablesen.
[mm] A_{11}=1 [/mm] , [mm] 2*A_{12}=4 [/mm] , [mm] 2*A_{13}=8 [/mm] , [mm] A_{22}=2 [/mm] , [mm] 2*A_{23}=4 [/mm] , [mm] A_{33}=1
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Do 26.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> danke dann passt die matrix ja
>
> eigenwerte bestimmen:
>
> [mm]det\pmat{ 1-\lambda & 2 & 4 \\ 2 & -2-\lambda & 2 \\ 4 & 2 & 1-\lambda}=0= -\lambda^3+27\lambda+54[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=-3[/mm]
>
> nach polynomdivision habe ich folgende gleichung
>
> [mm]0=-\lambda^2+3\lambda+18[/mm]
> 0 = [mm]\lambda^2-3\lambda-18[/mm]
>
> [mm]\lambda= \bruch{3}{2}+-\wurzel{20,25}[/mm]
>
> [mm]\lambda_2=6[/mm] und [mm]\lambda_3=-3[/mm]
Die Eigenwerte sind ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Eigenvektore bestimmen:
>
> [mm](A-\lambda_1E)V=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 2}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=0[/mm]
Das stimmt nicht und somit auch der Rest der Rechnung nicht. Es gilt
[mm] A-\lambda_1E=\pmat{ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
danke
eine frage hätte ich da noch.
da [mm] \lambda_1= \lambda_3 [/mm] ist, dann ist auch [mm] v_1=v_3 [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
> da [mm]\lambda_1= \lambda_3[/mm] ist, dann ist auch [mm]v_1=v_3[/mm] oder?
Nein.
Wenn du willst, kannst du ihre Rollen vertauschen
(bzw. ihre Indices) - aber gleichsetzen kann man
sie nicht. Eigentlich hat man hier zum Eigenwert 3
nicht nur einzelne Eigenvektoren, sondern einen
![[]](/images/popup.gif) Eigenraum der Dimension 2.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Hallo arbeitsamt,
> aber die eigenvektoren können die selben werte haben?
>
Nein.
> [mm](A-\lambda_1)v=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4}* \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 4x_1+2x_2+4x_3=0[/mm]
>
> sei [mm]x_1=1[/mm] dann folgt: [mm]x_3= -1-\bruch{1}{2}x_2[/mm]
>
> [mm]x_3[/mm] in die 3 gleichung einsetzen:
>
> [mm]4+2x_2+2(-1-\bruch{1}{2}x_2)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_2=-2[/mm]
>
> [mm]x_3= -1-\bruch{1}{2}*(-2)=0[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow v_1=\vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> so mit [mm]\lambda_3[/mm] bekommt man die selbe matrix:
>
> [mm](A-\lambda_3)v=0[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4}* \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
>
> wenn [mm]x_1=1[/mm] dann bekommt man den selben eigenvektor
>
> [mm]v_3= \vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
Der zweite Eigenvektor muss vom ersten Eigenvektor verschieden sein.
Das muss auch so sein, weil der Kern die Dimension 2 hat.
>
> Für [mm]\lambda_2:[/mm]
>
> [mm](A-\lambda_2)v=0[/mm] = [mm]\pmat{ -5 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & -5}* \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
>
Hier stimmt die Matrix nicht:
[mm](A-\lambda_2)=\pmat{ -5 & 2 & 4 \\ 2 & \red{-8} & 2 \\ 4 & 2 & -5}[/mm]
> [mm]\Rightarrow -5x_1+2x_2+4x_3=0[/mm]
>
> sei [mm]x_1=1[/mm] dann folgt [mm]x_2= \bruch{5}{2}-2x_3[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2+4(\bruch{5}{2}-2x_3)+2x_3=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_3=2[/mm]
>
> [mm]x_2= \bruch{5}{2}-2*2= -\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v_2= \vektor{1 \\ -\bruch{3}{2} \\ 2}[/mm]
>
> [mm]V=v_1v_2v_3= \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -\bruch{3}{2} & -2 \\ 0 & 2 & 0}[/mm]
>
> ist das soweit richtig?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo arbeitsamt,
> ok ic habe dann noch eine trivale frage:
>
>
> [mm](A-\lambda_3)v=0= \pmat{ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4}* \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]4x_1+2x_2+4x_3=0[/mm]
>
> sei [mm]x_3=1[/mm]
>
> dann folgt [mm]x_1=[/mm] -1 [mm]-\bruch{1}{2}x_1[/mm]
>
Hier meinst Du wohl:
[mm]x_1= -1 -\bruch{1}{2}x_\blue{2}[/mm]
> wenn ich dann [mm]x_1[/mm] in eine der anderen beiden gleichung
> einsetze, bekomme ich immer null zeilen. was bedeutet das?
>
Es handelt sich um äquivalente Gleichungen.
> also wenn ich [mm]x_1[/mm] in die zweite gleichung einsetze:
>
> [mm]2x_1+ x_2+2=0[/mm]
>
> 2(-1 [mm]-\bruch{1}{2}x_1)+ x_2+2=0[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0=0
>
> wie bestimme ich hier [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2?[/mm]
>
Nun, [mm]x_{2}[/mm] ist frei wählbar.
Damit kann auch [mm]x_{1}[/mm] bestimmt werden.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
