uneigentliches integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | untersuchen sie ob das uneigentliche integral [mm] existiert:\integral_{0}^{e}{\bruch{ln(x)}{x} dx}
[/mm]
|
hallo,
könnte mir jemand erklären was ein uneigentliches integral ist und wie ich diese aufgabe löse?
das wäre sehr nett.
danke schonmal im voraus.
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> untersuchen sie ob das uneigentliche integral
> [mm]existiert:\integral_{0}^{e}{\bruch{ln(x)}{x} dx}[/mm]
>
> hallo,
> könnte mir jemand erklären was ein uneigentliches integral
> ist und wie ich diese aufgabe löse?
> das wäre sehr nett.
> danke schonmal im voraus.
Schau dir in $ [mm] \integral_{0}^{e}{\bruch{ln(x)}{x} dx} [/mm] $ mal den Integranden
[mm] \bruch{ln(x)}{x}
[/mm]
an. Der ist in x=0 nicht definiert. Deswegen "uneigentlich". Das uneigentliche Integral existiert, wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{t\rightarrow0} \integral_{t}^{e}{\bruch{ln(x)}{x} dx}
[/mm]
existiert und endlich ist.
Berechne also mal das Integral [mm] \integral_{t}^{e}{\bruch{ln(x)}{x} dx} [/mm] (Tipp. Substitution u = ln(x) ) und schau was für t -->0 passiert.
FRED
> lg
|
|
|
| |
|
okay also ist ein uneigentliches integral ein integral, wo die funktion in den grenzen eine definitionslücke hat oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja und Nein.
Schau mal hier:
http://sites.inka.de/picasso/Zimmer/main.htm
FRED
|
|
|
| |
|
okay um nochml zur aufgabe zurückzukommen:
ich habe jetzt das integral [mm] \integral_{\bruch{1}{e}}^{\bruch{1}{t}}{lnz dx} [/mm] nach dem ganzen substituieren und so. jetzt ist die frage muss ich das jetzt einfach ausrechnen oder wie soll ich zeigen,dass es existiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> okay um nochml zur aufgabe zurückzukommen:
> ich habe jetzt das integral
> [mm]\integral_{\bruch{1}{e}}^{\bruch{1}{t}}{lnz dx}[/mm] nach dem
> ganzen substituieren und so.
Zeig mal Deine Rechnungen
>jetzt ist die frage muss ich
> das jetzt einfach ausrechnen oder wie soll ich zeigen,dass
> es existiert?
Rechne. Tipp: das uneigentliche Integral existiert nicht.
FRED
|
|
|
| |
|
also hier meine rechnung:
[mm] \integral_{t}^{e}{\bruch{lnx}{x} dx}
[/mm]
z=lnx
[mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{x}
[/mm]
dx=dzx
dann die grenzen in [mm] \bruch{1}{x} [/mm] einsetzten
[mm] \integral_{\bruch{1}{t}}^{\bruch{1}{e}}{\bruch{lnz}{x} dxz}
[/mm]
= [mm] \integral_{\bruch{1}{t}}^{\bruch{1}{e}}{lnz dz}
[/mm]
ich weiß so langsam nervt es aber eine frage habe ich noch und zwar was denn rauskommen müsste wenn das uneigentliche integral existieren würde.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> also hier meine rechnung:
> [mm]\integral_{t}^{e}{\bruch{lnx}{x} dx}[/mm]
> z=lnx
> [mm]\bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{x}[/mm]
> dx=dzx
> dann die grenzen in [mm]\bruch{1}{x}[/mm] einsetzten
> [mm]\integral_{\bruch{1}{t}}^{\bruch{1}{e}}{\bruch{lnz}{x} dxz}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{\bruch{1}{t}}^{\bruch{1}{e}}{lnz dz}[/mm]
> ich weiß
> so langsam nervt es aber eine frage habe ich noch und zwar
> was denn rauskommen müsste wenn das uneigentliche integral
> existieren würde.
>
>
Das ist völlig falsch !
z=lnx
$ [mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{x} [/mm] $. Dann dz = [mm] \bruch{dx}{x}, [/mm] also
zdz = [mm] \bruch{lnx}{x}dx
[/mm]
Neue Grenzen: wenn x =t, so ist z = lnt, wenn x=e, so ist z=1.
Somit [mm]\integral_{t}^{e}{\bruch{lnx}{x} dx}[/mm] = [mm]\integral_{lnt}^{1}z dz}[/mm] = [mm] 1/2(1-(lnt)^2)
[/mm]
Gegen was strebt das, wenn t-->0 ?
FRED
|
|
|
| |
|
gegen 0 oder? weil die zahl wird doch immer kleiner wenn man für t etwas sehr kleines einsetzt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Di 18.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ein Beispielwert: [mm] \ln{\bruch{1}{1000000}}=-13,815...
[/mm]
Noch einer: [mm] \ln{\bruch{1}{10^30}}=-69,077...
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> gegen 0 oder? weil die zahl wird doch immer kleiner wenn
> man für t etwas sehr kleines einsetzt.
Wieder falsch. Für t-->0 geht lnt gegen [mm] -\infty, [/mm] also [mm] \integral_{t}^{e}{\bruch{ln(x)}{x} dx} [/mm] --> [mm] -\infty [/mm] für t-->0
FRED
|
|
|
|
