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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Di 08.01.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Die Vektoren [mm] \overrightarrow{v}_1=(1,-2,5,-3), \overrightarrow{v}_2=(2,3,1,-4), \overrightarrow{v}_3=(3,8,-3,-5) [/mm] erzeugen einen Unterraum U von [mm] \IR^4.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von U.
b) Ergänzen Sie die Basis von U zu einer Basis von [mm] \IR^4. [/mm] |
und noch eine aufgabe...
ich habe bereits ganz am anfang ein verständnisproblem: kann mir bitte jemand anschaulich erklären, wie man darauf kommt, dass die vektoren einen ur von [mm] \IR^4 [/mm] erzeugen? ich sehe leider nur, dass die vektoren bereits aus 4 komponenten bestehen....
für die dimension bilde ich wieder ein lgs, wende den gauss-algo an und erhalte somit am ende zwei zeilen ungleich null, schließe also, dass die dimension von U=2 ist. anschließend habe ich dann den lösungsvektor berechnet, aber den benötige ich gar nicht, oder? wie gehe ich weiter vor, um die basis von u bzw von [mm] \IR^4 [/mm] zu bestimmen?
besten dank für eure hilfe!
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Ein Unterraum muss nicht unbedingt ein "Raum" sein. Es kann auch eine Gerade oder Ebene sein. Ich würde daher gar nicht versuchen, mir den Unterraum vorzustellen.
Für Beantwortung der Frage a)
Prüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Wenn alle 3 Vektoren voneinander linear unabhängig sind (das wäre mein Ergebnis, habe das gerade mal kurz überschlagen, könnte aber trotzdem sein dass ich mich verrechnet habe), dann ist die Dimension des UR 3. Da die Dimension eines Vektorraumes immer der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in der erzeugenden Familie entspricht...
Falls ein Vektor sich durch Linearkombination der anderen erzeugen lässt, streichst du diesen, und prüfst die vorhandenen Vektoren nochmal...
Sind diese dann linear unabhängig, entspricht die Dimension des Vektorraumes der Anzahl der noch vorhandenen Vektoren...
b)
Falls dim (U) = 3 ist, fügst du einfach noch einen Vektor hinzu, der von den anderen linear unabhängig ist.
Falls dim (U) = 2 ist, fügst du noch 2 lin unabh. Vektoren hinzu
usw...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 08.01.2008 | | Autor: | jura |
danke erstmal!
ich komme wie gesagt auf eine dimension dimU=2, die vektoren sind also linear abhängig. kannst du das evtl nochmal nachrechnen und mir, falls ich falsch liegen sollte, dass ganze vorrechnen?
und was ist mit der basis von U?
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> danke erstmal!
> ich komme wie gesagt auf eine dimension dimU=2, die
> vektoren sind also linear abhängig. kannst du das evtl
> nochmal nachrechnen und mir, falls ich falsch liegen
> sollte, dass ganze vorrechnen?
> und was ist mit der basis von U?
Hallo,
rechne lieber Du vor!
Ich nehme an, daß Du es mit einer Matrix und Zeilenstufenform gemacht hast,
und wenn wir das sehen, können wir auch gleich erklären, wie Du eine Basis ablesen kannst - und brauchen nicht selbst Matrizen einzutippen...
(Falls Du keine Zweifel an der Richtigkeit Deiner Rechnung hast, reicht die Anfangs und Endmatrix.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 08.01.2008 | | Autor: | jura |
gut, meine anfangsmatrix ist: [mm] \pmat{1&2&3\\-2&3&8\\5&1&-3\\-3&-4&-5}
[/mm]
und die endmatrix sieht folgendermaßen aus: [mm] \pmat{1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\\0&0&0}
[/mm]
ich schaue nach der anzahl der zeilen mit führender 1, das sind 2- folglich ist die dimension gleich 2- so hab ich mir das zumindest überlegt....
und was meint ihr?
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> gut, meine anfangsmatrix ist:
> [mm]\pmat{1&2&3\\-2&3&8\\5&1&-3\\-3&-4&-5}[/mm]
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> und die endmatrix sieht folgendermaßen aus:
> [mm]\pmat{1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\\0&0&0}[/mm]
>
> ich schaue nach der anzahl der zeilen mit führender 1, das
> sind 2- folglich ist die dimension gleich 2- so hab ich mir
> das zumindest überlegt....
> und was meint ihr?
Perfekt!
Deine ZSF hat jetzt also zwei Stufen.
Die erste Spalte bildet eine Stufe, und die beiden letzten Spalten bilden eine Stufe, siehst Du das und verstehst Du, was ich meine?
Wenn Du nun aus jeder Stufe einen der Startvektoren nimmst, hast Du eine Basis des aufgespannten Raumes.
Du kannst hier also ablesen, daß [mm] (v_1, v_2) [/mm] eine Basis ist, genau wie [mm] (v_1, v_3) [/mm] - das schließt nicht aus, daß es andere Basen gibt (es gibt!), aber diese kannst Du direkt ablesen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jura |
ja, das kann ich mir gut vorstellen und auch verstehn, danke!
haben denn die endvektoren eine ähnliche bedeutung wie die startvektoren?
und wie finde ich nun 2 weitere vektoren, um zu einer basis von [mm] \IR^4 [/mm] zu ergänzen?
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> ja, das kann ich mir gut vorstellen und auch verstehn,
> danke!
> haben denn die endvektoren eine ähnliche bedeutung wie die
> startvektoren?
So wie sie jetzt dastehen, nicht.
> und wie finde ich nun 2 weitere vektoren, um zu einer
> basis von [mm]\IR^4[/mm] zu ergänzen?
Denk Dir die letzt Spalte Deiner ZSF weg und überleg Dir, wie Du sie am einfachsten zu einer Matrix vom Rang 4 ergänzen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jura |
eine matrix vom rang 4 wäre ja dann [mm] \pmat{1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1}, [/mm] oder?
nun kann ich aber doch nicht einfach die vektoren [mm] v_1=(1,0,0,0), v_2=(2,1,0,0), v_3=(1,1,1,0), v_4=(1,1,1,1) [/mm] als basis von [mm] \IR^4 [/mm] nehmen- schließlich hätte ich ja dann nicht die basis von U ergänzt?!
muss ich also teilweise doch die startvektoren benutzen?
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> eine matrix vom rang 4 wäre ja dann
> [mm]\pmat{1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1},[/mm] oder?
>
> nun kann ich aber doch nicht einfach die vektoren
> [mm]v_1=(1,0,0,0), v_2=(2,1,0,0),
Hallo,
die beiden kannst Du überhaupt nicht nehmen, sie haben mit Deinem erzeugten Raum nicht sooo viel zu tun.
Ich bin mir sicher, ich hatte erwähnt, daß Du die Startvektoren nehmen mußt, die an ihrer Stelle standen
> v_3=(1,1,1,0), v_4=(1,1,1,1)[/mm]
Ja, mit denen kannst Du ergänzen - wenn Du (0,0,1,0), (0,0,0,1) nimmst, ist es aber auch kein Fehler, und möglicherweise sind für weitere berechnungen die Nullen sehr angenehm.
Es ist aber richtig, was Du getan hast mit [mm] v_3, v_4.
[/mm]
> als basis von [mm]\IR^4[/mm] nehmen- schließlich hätte ich ja dann
> nicht die basis von U ergänzt?!
> muss ich also teilweise doch die startvektoren benutzen?
Jaaaaaaaaaaaa!!!!!!!!!!!!!!!!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:58 Fr 11.01.2008 | | Autor: | jura |
kapito.
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