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| Aufgabe | Dreieckspyramide
Gegeben sind die Punkte
A(-6;8;7) , B(-3;-4;4), C(1;-8;6) und D(9;-4;-2)
a.)Ermitteln Sie die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C gegeben ist. (moegliches Ergebnis: 2x + y - 2z = -18) |
Hallo!
Ich habe zuerst die Parameterform gebildet:
[mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -12 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] +s [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ -16 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
daraus folgt:
x= -6 + 3r + 7s
y= 8 - 12r + 16s
z= 7 + 3r - s
Die Erklärung im Mathebuch verstehe ich nicht wirklich...
Ich habe dann x mit 4 multipliziert und davon y subtrahiert
=> 4x - y = -12 + 12r + 28s
wie ich weiter vor gehen soll weiss ich nicht :(
Bin Dankbar um jede Hilfe!
Sarah
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hey,
besser ist, wenn du direkt die koordinatengleichung machst.
dafür brauchst du ja 2 richtungsvektoren der Ebene (wahlweise [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}). [/mm] dann berechnest du aus diesen den normalenvektor der ebene (mithilfe des vektorproduktes).
[mm] \vec{n}= \vektor{60 \\ 24 \\36}
[/mm]
diesen kannst du ja jetzt noch kürzen --> [mm] \vektor{5 \\ 2 \\3}
[/mm]
nun sind die komponenten dieses vektors gleichzeitig die komponenten der koordinatengleichung
E: 5x+2y+3z+d=0
nun kannst du einen beliebigen punkt dieser ebene einsetzen, damit du d noch kriegst und dann hast du die aufgabe.
sollte eigentlich stimmen so..
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ok danke!
aber ich würd gern wissen, wie ich von meiner aufgestellten Parametergleichung zur Koordinatengleichung komme und ob ich die Koordinatengleichung überhaupt richtig aufgestellt habe?!?!
Sarah
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ja also, du hast ja bei deiner parametergleichung die beiden vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] auch drin.. also kannst du es für parametergleichung --> koordinatengleichung so machen.
ich persönlich finde das die schnellste variante..
und dann deine koordinatengleichung kannst du noch reinposten, dann rechne ich's noch kurz nach.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Di 19.02.2008 | | Autor: | Sarah1988 |
Also das habe ich ja in meiner ersten Frage schon geschrieben.
Genau so wie es da steht.
Könntest du mir da vllt weiterhelfen?
das wäre echt nett!!!
sarah
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Di 19.02.2008 | | Autor: | sunshine_ |
ah du meinst dein mögliches ergebnis.. sry ich dachte du meinst deine parametergleichung..
also meiner meinung nach stimmt 2x+y-2Z+18=0 nicht, woher hast du denn das? (lösungsbuch?!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Di 19.02.2008 | | Autor: | Sarah1988 |
das steht auf dem aufgabenblatt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Di 19.02.2008 | | Autor: | sunshine_ |
naja wie gesagt, ich glaube nicht, dass es stimmt.. aber ich bin auch bloss eine kleine unerfahrene schülerin... entweder du gibst dich mit meinen erklärungsversuchen zufrieden oder stellst nochmals eine frage, die wird dann schon beantwortet- geht ja fix hier..
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Di 19.02.2008 | | Autor: | Sarah1988 |
danke trotzdem.
das es falsch ist glaub ich nicht, da das Ergebnis gegeben ist, um weiter rechnen zu können, falls man bei Aufgabe a.) nicht weiter kommt, oder eine falsche Lösung hat.
Sarah
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| Aufgabe | Dreieckspyramide
Gegeben sind die Punkte
A(-6;8;7) , B(-3;-4;4), C(1;-8;6) und D(9;-4;-2)
a.)Ermitteln Sie die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C gegeben ist. (Ergebnis: 2x + y - 2z = -18) |
Hallo!
Ich habe zuerst die Parameterform gebildet:
[mm] \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -12 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ -16 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
daraus folgt:
x= -6 + 3r + 7s
y= 8 - 12r + 16s
z= 7 + 3r - s
Die Erklärung im Mathebuch verstehe ich nicht wirklich...
Ich habe dann x mit 4 multipliziert und davon y subtrahiert
=> 4x - y = -12 + 12r + 28s
wie ich weiter vor gehen soll weiss ich nicht :(
Wär nett, wenn mir einer dabei helfen könnte!
Sarah
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Hallo!
Du hast dich bei deiner Aufstellung etwas vertan. Die Parameterform lautet: [mm] \vektor{-6 \\ 8 \\ 7}+r*\vektor{3 \\ -12 \\ -3}+s*\vektor{7 \\ -16 \\ -1} [/mm] woraus sich das LGS zusammensetzt:
x=-6+ 3r+ 7s
y= 8-12r-16s
z= 7- 3r- s
Nun formst du das LGS so um dass in einer Gleichung die Paramter r und s wegfallen. Dann hast du eine Koordinatengleichung der Ebene die durch die Punkte A,B und C geht.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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das ist ja grade mein problem. ich weiß das die parameter wegfallen müseen, aber ich komme einfach nicht dazu, dass r oder s wegfällt... :(
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Hallo!
Ok! dann schauen wir mal:
x=-6+ 3r+ 7s |4*I+II
y= 8-12r-16s |I+III
z= 7- 3r- s
------------
x =-6+ 3r+ 7s
4x+y=-16 +12s
x+z = 1 -6s
----------------
Bis hier hin alles klar? Unser Ziel ist es wie schon gesagt die Parameter wegzubekommen. Ich habe mit r angefangen dazu musste ich die erste Gleichung mit 4 multiplizieren und zur zweiten Gleichung dazuaddieren (in Zeichen: 4*I+II) damit in der 2 Gleichung die -12r wegfallen. (denn es gilt ja 4*3r+(-12r)=0  ) So und um die -3r in dritten Gleichung wegzubekommen habe ich die erste Gleichung zur dritten dazuaddiert (denn es ist ja 3r+(-3r)=0) So und jetzt musst du ja auch noch das "s" wegbekommen. Wenn du das geschafft hast dann steht die gesuchte Koordinatengleichung da. Ich denke von hier kommst du alleine weiter.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Di 19.02.2008 | | Autor: | Sarah1988 |
ok perfekt danke!!!
ist ja eigentlich einfacher als gedacht.
bin irgendwie nicht drauf gekommen!
lg
sarah :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Mi 20.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sarah!
Bitte poste Folgefragen im selben Diskussionsstrang, siehe auch in den Forenregeln.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Mi 20.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sarah!
> Dreieckspyramide
>
> Gegeben sind die Punkte
> A(-6;8;7) , B(-3;-4;4), C(1;-8;6) und D(9;-4;-2)
>
> a.)Ermitteln Sie die Koordinatenform der Ebene E, die durch
> die drei Punkte A, B und C gegeben ist. (moegliches
> Ergebnis: 2x + y - 2z = -18)
> Hallo!
>
> Ich habe zuerst die Parameterform gebildet:
>
> [mm]\vec x = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ -12 \\ 3 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 7 \\ -16 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
Beim zweiten Vektor hast du dich vertan, es muss
[mm]\vec x = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ -12 \\ \red{-}3 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 7 \\ -16 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
heißen.
> daraus folgt:
> x= -6 + 3r + 7s
> y= 8 - 12r + 16s
> z= 7 + 3r - s
Hier hast du noch einen Übertragungsfehler: es muss $ y= 8 - 12r [mm] \red{-} [/mm] 16s $ und [mm] $z=7\red{-}3r-s$ [/mm] heißen.
Hier kannst du schon überprüfen, ob diese Gleichungen zu dem angegebenen Ergebnis passen:
$2x+ y - 2z= 2(-6 + 3r + 7s) + (8 - 12r - 16s) -2(7 - 3r - s) =-18$
Passt also schonmal.
>
> Die Erklärung im Mathebuch verstehe ich nicht wirklich...
>
> Ich habe dann x mit 4 multipliziert und davon y
> subtrahiert
> => 4x - y = -12 + 12r + 28s
Mal abgesehen davon, dass du dich da nochmal verrechnet hast: Warum hast du so gerechnet?
> wie ich weiter vor gehen soll weiss ich nicht :(
Es gibt zwei Möglichkeiten, von der Parameterform auf die Koordinatenform zu kommen. Beide sind im Prinzip das Gleiche, nur der Rechenweg ist unterschiedlich.
1. Methode: Rein rechnerisch: Elimination der Variablen r und s.
Bei dieser Methode macht man aus den drei Gleichungen für x,y,z, die außerdem noch r und s enthalten, eine Gleichung, indem man r und s rauswirft. Das Ergebnis ist die Koordinatenform.
Ich nehme an, das wolltest du auch so machen. Wenn ich die erste Gleichung mit 4 malnehme, bekomme ich:
$ 4x=-24+12r+28s $
Dazu addiere ich die zweite und bekomme: $4x+y=-16+12s$.
Analog kann ich die dritte zu der ersten addieren und bekomme: $ x+z=1+6s $.
Ich habe also die Variable r rausgeworfen. Ich kann jetzt entweder beide Gleichungen nach s auflösen und gleichsetzen oder weitermachen wie eben: die erste der zwei Gleichungen mal (-1), die zweite mal 2 und addieren:
$-(4x+y)+2(x+z) = -(-16+12s) +2(1+6s) = 18 [mm] \gdw [/mm] -2x-y+2z = 18$.
2. Methode: Geometrisch, dann rechnen
Diese Methode beruht darauf, dass die Koordinatenform auch so geschrieben werden kann:
[mm] \vec{x}*\vec{n} = c [/mm].
Dabei steht der Vektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] senkrecht auf der Ebene. Du musst also erstmal einen solchen Vektor finden.
Das ist die Methode, die sunshine_ verwendet hat.
Ein Vektor steht senkrecht auf der Ebene, wenn er jeweils senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Parameterform steht. Du nimmst also einen allgemeinen Vektor
[mm]\vec{n} = \vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3} [/mm]
an und bestimmst ihn über die beiden Bedingungen
[mm] \vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3} * \vektor{ 3 \\ -12 \\ -3 } =0[/mm] und [mm]\vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3} * \vektor{7 \\ -16 \\ -1 } = 0 [/mm]
oder: [mm] $3n_1-12n_2-3n_3=0$, $7n_1-16n_2-n_3=0$.
[/mm]
Die legen den Vektor nicht vollständig fest, nämlich nur seine Richtung, nicht aber seine Länge. Die ist beliebig, weil er nur senkrecht auf der Ebene stehen muss, egal, wie lang er ist. Deswegen kannst du eine der drei Komponenten beliebig wählen. Ich setze hier einfach [mm] $n_1=1$, [/mm] dann kommt [mm] $n_2=1/2$ [/mm] und [mm] $n_3=-1$ [/mm] heraus, also:
[mm] \vec{n} = \vektor{1 \\ 1/2 \\ -1} [/mm]
(Da die Länge beliebig ist, kann ich ihn auch einfach mit 2 malnehmen, muss ich aber nicht.)
Jetzt nehme ich nur noch die Parameterdarstellung mit diesem Vektor mal. Dabei bleibt nur der erste Term übrig, denn [mm] $\vec{n}$ [/mm] steht ja senkrecht auf den beiden anderen Vektoren:
[mm] \vektor{x\\y\\z}*\vektor{1 \\ 1/2 \\ -1} = \vektor{-6 \\ 8 \\ 7}*\vektor{1 \\ 1/2 \\ -1}+r*0+s*0 = -9 [/mm]
oder: [mm] x + \bruch{1}{2}y -z = -9 [/mm].
Zur Übersicht nochmal die drei Ergebnisse:
1. Vorgegeben: $2x + y - 2z = -18$,
2. Erste Methode: $-2x-y+2z = 18$,
3. Zweite Methode: [mm] x + \bruch{1}{2}y -z = -9 [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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