vollst. Induktion Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion.
Für jede natürliche Zahl n [mm] \le [/mm] 2 gilt: [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2} [/mm] < 2 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] |
Um mir die Aussage zu versinnbildlichen: die linke Seite strebt nach 1,5 und die rechts Seite nach 2. So dass die linke Seite immer kleiner sein wird als die rechte, oder?
Hier mein bisheriger Ansatz:
Induktionsanfang:
P(2) weil die kleinste natürliche Zahl hier 2 ist
[mm] \summe_{i=1}^{2} \bruch{1}{i^2} [/mm] < 1,5
Induktionsvorraussetzung:
P(n) unsere Aussage
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2} [/mm] < 2 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Induktionsbehauptung:
P(n+1) unser Ziel
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i^2} [/mm] < 2 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Induktionsschritt:
P(n) -> P(n+1)
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2} [/mm] < 2 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
! Hier habe ich schon Umformungsschwierigkeiten, weil es eine Ungleichung ist. Mein erster Umformungsschritt sollte sein + [mm] \bruch{1}{(n+1)^2} [/mm] so dass da steht:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i^2} [/mm] < 2 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^2}
[/mm]
Ist das soweit überhaupt erstmal richtig, weil ich komme von dieser Stelle arithmetisch überhaupt nicht weiter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 20.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst im Ind-Schritt zeigen, dass
[mm] \summe_{i=1}^{\red{n+1}}\bruch{1}{i^2}<2-\bruch{1}{\red{n+1}} [/mm]
Also:
[mm] \summe_{i=1}^{\red{n+1}}\bruch{1}{i^2}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^2}+\bruch{1}{(n+1)²}
[/mm]
[mm] <2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)²}
[/mm]
[mm] =2-\bruch{(n+1)²}{n*(n+1)²}+\bruch{n}{(n+1)²*n}
[/mm]
[mm] =2-\bruch{(n+1)²+n}{n*(n+1)²}
[/mm]
[mm] =2-\bruch{n²+2n+1+n}{n*(n+1)²}
[/mm]
[mm] =2-\bruch{n²+n+1}{n*(n+1)²}
[/mm]
[mm] =2-\bruch{n²+n}{n*(n+1)²}+\bruch{1}{n*(n+1)²}
[/mm]
Versuch jetzt mal, alleine weiterzukommen.
Marius
|
|
|
| |
|
Deine letzte Gleichung müsste doch lauten:
< 2 - [mm] \bruch{n^2 + 3n}{n (n+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n (n+1)^2}
[/mm]
Also 3n statt n?
Ich hoffe das ändert nichts daran das ich von hier aus noch zum Ergebniss komme?!
Was mir leider auch aufgefallen ist, mit der Probe n=2 komme ich bei:
< 2 - [mm] \bruch{n^2 + 3n}{n (n+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n (n+1)^2}
[/mm]
auf < 1,38888..
und bei
< 2 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
auf 1,666...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Do 20.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Wenn was kleiner 1,38 ist ist es natuerlich erst recht kleiner 1,66
Du musst also nur zeigen, dass du mit deinem langen Ausdruck mehr abziehst als 1/(n+1)
2. die 3 ist falsch, Marius hat in der drittletzten Zeile einen Fehlr, da steht als letztes nicht =n sondern -n (wegen des - vor dem Bruch. das letzte ergebnis stimmt dann wieder
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Mir scheint es, als hast du das Prinzip der Induktion noch nicht richtig verstanden. Du musst mit
$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i^2} [/mm] $
beim Induktionsschritt anfangen, deine Voraussetzung benutzen und anschließend noch geschickt abschätzen. Also ich fange mal an...
$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i^2} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{{n+1}^2}$ [/mm] < $ 2 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{{n+1}^{2}} [/mm] $ < ...
Gruß Martin
|
|
|
|
