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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:09 Mo 05.06.2006 | | Autor: | maggi20 |
Hallo ihr lieben Leute da draussen! Ich benötige dringenst Hilfe. Könnte mir jemand vielleicht erklären um was es bei der vollständigen Induktion geht und wie sie funktioniert und mir vielleicht ein Beispiel geben wie und wo ich es anwenden könnte (z.B. bei Matrizen, wenn ich bestimmmen soll wieviele Matrizen es mit einer Eins in jeder Spalte und Zeile und sonst Nullen). Bitte helft mir.
Liebe Grüsse
Maggi
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Dei VI wird meist im Zusammenhang mit Zahlen, Reihen und Folgen benutzt. Man zeigt, daß das zu beweisende für den Anfang gilt. Dies ist der Induktionsanker, und der leichte Teil.
Danach folgt dert Induktionsschritt, bei dem bewiesen wird, daß das zu beweisende, wenn es für einen Schritt gilt, auch für den nächsten Schritt gelten muß. Wenn dem so ist, gilt das Gesetz ja immer.
Beispielsweise die Summenformel [mm] $1+2+3+4+...+n=\bruch{n(n+1)}{2}$
[/mm]
Im ersten Schritt zeigst du, daß die Formel für 1 gilt, meinetwegen auch, daß sie für 1+2, 1+2+3 gilt. Letzteres ist mathematisch nicht nötig, aber man sieht es besser.
Jetzt gehst du davon aus, daß [mm] $\bruch{n(n+1)}{2}$ [/mm] für EIN n gilt. Doch wie sieht es dann mit (n+1) aus? Aus dem jetzigen Ergebnis ergibt sich dieser Fall ja durch Addition von (n+1),also [mm] $\bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)$. [/mm] Wenn die Formel stimmt, müßte man ebenso direkt in die Formel (n+1) einsetzen können, also [mm] $\bruch{[n+1]([n+1]+1)}{2}$
[/mm]
Wenn die Formel stimmt, müßte in beiden Fällen das selbe raus kommen, also
[mm] $\bruch{[n+1]([n+1]+1)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)$
[/mm]
Beachte: Links steht die Formel für den nächsten Schritt, rechst steht sie für den aktuellen, für den sie als richtig angesehen wird, zusammen mit der "konventionellen" Rechnung, um auf das Ergebnis für den nächsten Schritt zu kommen.
Die Korrektheit der Gleichung ist schnell gezeigt, das ist keine Kunst. Somit weißt du jetzt, daß die Formel nachgewiesenermaßen für n=1, n=2 oder n=3 gilt, und , daß sie für ein beliebiges n auch stehts auch für das nächstgrößere gilt, also immer.
Bei deinen Matrizen würde ich das nicht grade nehmen, da die Begründung für dein Beispiel auch so schon zu einfach ist. Aber das ginge auch so:
Induktionsanker: eine 2x2-Matrix kann 2 Einsen enthalten, eine 3x3-Matrix kann 3 enthalten, das sieht man ja.
Induktionsschritt: Eine nxn-Matrix kann n Einsen haben, eine (n+1)x(n+1) sollte dann n+1 haben.
Aus einer nxn-Matrix wird durch Hinzufügen von einer Zeile und einer Spalte eine (n+1)x(n+1)-Matrix, und nur in den Schnittpunkt der neuen Zeile und Spalte kann problemlos eine 1 eingefügt werden, das heißt, zu der Anzahl einer nxn-Matrix kommt noch 1 hinzu. Jetzt die Wahnsinnsrechnung:
(n+1)=(n)+1
Die Klammern sollen verdeutlichen, daß der linke Teil die Formel für den nächsten Schritt ist, während der rechte die Formel für den aktuellen Schritt mit einer konventionellen Rechnung ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Mo 05.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Hallo!
Also eigentlich:
https://matheraum.de/read?i=156605
Grüße Sclossa
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