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Hallo liebe Mathematiker!
Folgende Frage beschäftigt mich schon geraume Zeit:
Die Folge (xn) definiert durch xn:= [mm] a^n [/mm] für alle n Element N konvergiert genau für a = 1.
Meine bisherigen Überlegungen zu dieser Frage:
Konvergenz ist ja nur dann gegeben, wenn eines der Konvergenzkriterien erfüllt ist. Aber ich kann ja jetzt nicht jedes a ungleich 1 durchprobieren und z.B. mit dem Cauchy-Kriterium auf die Epsilon-Umgebung abschätzen. Hat da jemand einen Tipp für mich?
Grüße und besten Dank eines Mathe-Studenten (Lehramt) der sich unter vielen Diplom-Studenten leicht unterbelichtet vorkommt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 So 13.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Der_Literat,
> Hallo liebe Mathematiker!
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> Folgende Frage beschäftigt mich schon geraume Zeit:
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> Die Folge (xn) definiert durch xn:= [mm] a^n [/mm] für alle n Element
> N konvergiert genau für a = 1.
Das ist falsch. Dass die Folge mit [mm] $y_n:=1^n$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] gegen [m]1[/m] konvergiert, ist richtig. Aber wenn z.B. $0 [mm] \le [/mm] a < 1$ gilt, dann konvergiert [mm](x_n)_{n \in \IN},[/mm] [m]x_n:=a^n[/m] ebenso, und zwar gegen $0$ (ich schreibe 'z.B.', weil man 'das Intervall', aus welchem man $a$ nehmen kann, um immer Konvergenz bei deiner Folge [mm] $x_n=a^n$ [/mm] zu haben, auch 'nach links vergrössern' kann; wie weit, das würde ich gerne später einmal von dir beantwortet bekommen, ich kontrolliere es dann  ).
(Betrachte z.B. [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [m]b_n:=(\frac{1}{2})^n[/m].)
Schau bitte noch einmal in die Aufgabenstellung.
Leider werde ich dir heute nicht mehr weiterhelfen können. Evtl. schau ich mir dann deine Frage morgen (abend) noch einmal an, wenn du dich solange gedulden kannst
Viele Grüsse
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Der_Literat,
hast du mal die Aufgabenstellung geprüft? Zumindest, wenn z.B. [m]a \in \IR[/m] sein soll/darf, ist deine Aussage:
"Die Folge [m](x_n)_{n \in \IN}[/m] definiert durch [mm] $x_n:=a^n$ [/mm] konvergiert genau für $a=1$."
falsch!
Vielleicht ist in deiner Aufgabe $a [mm] \in \IN$ [/mm] gefordert?
So etwas musst du uns/mir schon mitteilen, sonst sehe ich die Frage mit dem Gegenbeispiel [mm] $y_n:=(\frac{1}{2})^n$ [/mm] als beantwortet an.
Ich beweise deine Aussage mal für $a [mm] \in \IN$:
[/mm]
Sei also $a [mm] \in \IN$ [/mm] (mit [mm] $\IN=\{1,2,3,4,...\}$) [/mm] und [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $x_n:=a^n$.
[/mm]
Behauptung: [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn $a=1$.
Beweis:
(Stets sei $a [mm] \in \IN$.)
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] (d.h., wir zeigen: Ist $a=1$, so konvergiert [m](x_n)_{n \in \IN}[/m]):
Für $a=1$ gilt für alle $n [mm] \in \IN$: $x_n=1^n=1$. [/mm] Ist also [m]\varepsilon > 0[/m] gegeben, so setze ich [mm] $N_{\varepsilon}:=1$. [/mm] Dann gilt für alle [m]n \ge N_{\varepsilon}[/m]:
[mm] $|x_n-1|=|1-1|=|0|=0 \le \varepsilon$, [/mm] mit anderen Worten:
[mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist konvergent mit [mm] $\limes_{n \to \infty}{x_n}=1$. [/mm]
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] (D.h. wir zeigen:
(I) Wenn [m](x_n)_{n \in \IN}[/m] konvergiert, so ist $a=1$ (wenn ferner $a [mm] \in \IN$ [/mm] gefordert). Diese Aussage ist aber äquivalent zu:
(II) Wenn $a [mm] \not=1$,[/mm] [m]a \in \IN[/m] ist, dann konvergiert [m](x_n)_{n \in \IN}[/m] nicht!
Wegen der Äquivalenz von (I) und (II) (insbesondere "(II) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (I)") genügt es, (II) zu zeigen ):
Sei also $a [mm] \in \IN-\{1\}$. [/mm] Wir zeigen, dass [m](x_n)_{n \in \IN}[/m] unbeschränkt ist, dann folgt die Behauptung (weil konvergente Folgen notwendig beschränkt sind). Weil [m]a \in \IN-\{1\}[/m] gilt, existiert ein [m]m \in \IN[/m] mit [m]a=(1+m)[/m]. Weil nun [m]m \in \IN[/m] gilt, ist insbesondere $m [mm] \ge [/mm] -1$.
Damit folgt nach der Bernoulli-Ungleichung:
[m]x_n=a^n=(1+m)^n \ge 1+m*n \ge m*n \ge n[/m] [m]\forall n \in \IN[/m]
(beachte: wegen [m]m \in \IN[/m] gilt: [m]m*n \ge n[/m] [m]\forall n \in \IN[/m]) .
Hier sieht man aber sofort, dass für die Folge [m](t_n)_{n \in \IN}[/m] definiert durch [m]t_n:=n[/m] gilt:
[m]t_n \rightarrow \infty[/m] [m] (n \rightarrow \infty) [/m].
(Das kann man auch ganz sauber hinschreiben, wenn du möchtest, kannst du das ja mal versuchen  ...), und damit ist auch [m](x_n)_{n \in \IN}[/m] nach oben unbeschränkt und damit divergent.
Unter (z.B.) der Voraussetzung $a [mm] \in \IN$ [/mm] ist also deine Aussage wahr.
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:59 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Der_Literat |
Hallo!
Vielen lieben Dank für die Hilfe! Bin leider erst jetzt wieder in matheraum reingekommen, keine Ahnung warum.
Also: a soll aus C sein und der Betrag von a soll eins sein. Ich denke aber, dass ich dass mit dem, was du geschrieben hast hinbekomme. Zumindest werde ich das mal versuchen und die Lösung morgen Abernd hier nochmal präsentieren. Vielleicht kannst Du dir das dann nochmal anschauen?
Grüße,
Tim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tim,
> Hallo!
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> Vielen lieben Dank für die Hilfe! Bin leider erst jetzt
> wieder in matheraum reingekommen, keine Ahnung warum.
Naja, entweder geht es dir so wie mir (ich würfle manchmal Passwörter durcheinander oder vertippe mich) oder es lag tatsächlich ein Problem technischer Art vor. Ich werde mal nachfragen!
> Also: a soll aus C sein und der Betrag von a soll eins
> sein. Ich denke aber, dass ich dass mit dem, was du
> geschrieben hast hinbekomme. Zumindest werde ich das mal
> versuchen und die Lösung morgen Abernd hier nochmal
> präsentieren. Vielleicht kannst Du dir das dann nochmal
> anschauen?
Ja klar kann ich mir das dann angucken. Aber das einzige, was ich nun sehe, was du aus meinem 'anderen Beweis zu der anderen Aufgabe' gebrauchen kannst, ist der Fall $a=1$ (das liegt daran, dass die Aufgabenstellung jetzt vollkommen anders ist!).
Ich gebe dir aber ein paar Hinweise für diese (neue) Aufgabenstellung .
Für $a [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|a|=1$ existiert genau ein [mm] $\phi \in [0,2\pi)$, [/mm] so dass gilt:
[mm] $a=e^{i*\phi}$.
[/mm]
Dann gilt natürlich [mm] $a^n=e^{i*(n*\phi)}$ [/mm] (Naja, so 'natürlich' ist das eigentlich auch wieder nicht ).
Weiter kannst du folgern:
[mm] $a^n=e^{i*(n*\phi)}=cos(n*\phi)+i*sin(n*\phi)$. [/mm]
(Das bekommst du auch über die Moivresche Formel:
[mm] $z^n=r^n*(cos(n*\phi)+sin(n*\phi))$ [/mm] mit [mm] $z=r*(cos(\phi)+i*sin(\phi))$ [/mm] (wobei [m]r:=|z|[/m]), wenn du den Spezialfall $|z|=r=1$ betrachtest!)
Damit gilt also für $a [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|a|=1$:
[m]a^n=\begin{pmatrix}
cos(n*\phi) \\
sin(n*\phi)
\end{pmatrix} [/m], wenn du die 'Koordinatendarstellung' (ein besseres Wort fällt mir dafür gerade nicht ein; wie nennt man das nochmal?) einer komplexen Zahl betrachtest. Wenn dir jetzt noch bekannt ist, dass eine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn die (zugehörige) 'Realteilfolge' und die 'Imaginärteilfolge' (da habe ich mal wieder schöne Wörter erfunden; weißt du, was ich damit meine?) konvergieren, so kommst du hoffentlich weiter.
Das wäre so meine Idee, diese (total umformulierte ) Aufgabe anzugehen. Versuch einmal, mit diesen Ideen zu arbeiten, ich hoffe, du kommst damit weiter.
Übrigens: Im Falle $a=1$ gilt ja [mm] $\phi=0$ [/mm] (ich betrachte ja nur [mm] $\phi \in [0,2\pi)$, [/mm] damit ich jeder Zahl aus [mm] $\IC$ [/mm] mit Betrag $1$ genau einen Winkel zuordnen kann und umgekehrt).
In diesem Fall erhältst du:
[m]a^n=\begin{pmatrix}
cos(n*0) \\
sin(n*0)
\end{pmatrix} [/m], also:
[m]a^n=\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} [/m]
Die 'Realteilfolge' ist also immer $=1$, also konvergent gegen $1$. Die 'Imaginärteilfolge' immer $=0$, also konvergent gegen [m]0[/m]. Also ist für [mm] $\phi=0$, [/mm] d.h. für $a=1$, die Folge, welche gegeben ist durch [mm] $x_n:=a^n(=1^n)$, [/mm] konvergent, weil die 'Realteilfolge' und die 'Imaginärteilfolge' konvergieren.
Man kann also auch umständlich nachweisen, dass die Folge, welche gegeben ist durch [mm] $y_n:=1^n$ [/mm] konvergieren muss .
Viele Grüße
Marcel
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Hallo Marcel!
Gut, dann ist das, was ich mir bisher überlegt habe hinfällig. Allerdings habe ich jetzt mit dem, was Du geschrieben hast ein Problem: Wir haben bisher nämlich weder cos noch sin in der Vorlesung und dürfen es deshalb auch nicht benutzen.
Gibt es denn noch einen anderen Weg die Aufgabe zu rechnen?
viele Grüße,
Tim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Anders wird es sehr schwierig...
Aber den Sinus und Cosinus kennt man doch aus der Schule, den dürft ihr doch wohl verwenden. (?)
Also leiten wir die Darstellung in Polarkoordinaten gerade mal für diesen Spezialfall her:
Nach Voraussetzung gilt:
[mm]1 = |a|^2 = (Re(a))^2 + (Im(a))^2[/mm]
Jede Lösung $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] der Gleichung $1= [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] liegt aber auf dem Einheitskreis und lässt sich in der Form
$x = [mm] \cos(\varphi)$,
[/mm]
$y = [mm] \sin(\varphi)$
[/mm]
mit einem [mm] $\varphi \in [0,2\pi[$ [/mm] parametrisieren.
Daher gibt es ein [mm] $\varphi \in [0,2\pi[$ [/mm] mit
$Re(a) = [mm] \cos(\varphi)$,
[/mm]
$Im(a) = [mm] \sin(\varphi)$.
[/mm]
Jetzt machst du so weiter, wie von Marcel vorgeschlagen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tim,
> Hallo Marcel!
>
> Gut, dann ist das, was ich mir bisher überlegt habe
> hinfällig. Allerdings habe ich jetzt mit dem, was Du
> geschrieben hast ein Problem: Wir haben bisher nämlich
> weder cos noch sin in der Vorlesung und dürfen es deshalb
> auch nicht benutzen.
> Gibt es denn noch einen anderen Weg die Aufgabe zu rechnen?
Stefan hat dir ja auch schon etwas vorgeschlagen. Am besten fragst du einfach mal nach, ob du das so verwenden darfst/kannst.
Es gibt bestimmt auch noch andere Wege, die Aufgabe zu rechnen. Aber dazu habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.
Das Problem ist dann auch, dass, wenn ich dir einen anderen Weg vorschlagen würde, du evtl. wieder an einer anderen Stelle Probleme hättest, weil euch etwas anderes aus der Vorlesung noch nicht bekannt ist.
Gibt es denn vielleicht einen Link zu eurem Skript, so dass man da mal hineingucken kann, was ihr bisher alles behandelt habt und was nicht?
Welche Kenntnisse habt ihr denn z.B. über [mm] $x^n$ [/mm] mit $x [mm] \in \IC$,[/mm] [m]n \in \IN_0:=\IN \cup \{0\}[/m]?
Du kannst ja auch mal versuchen, etwas herzuleiten:
(Für $x [mm] \in \IC$ [/mm] sei $Re(x)$ der Realteil von $x$ und $Im(x)$ der Imaginärteil von $x$:)
[m]x^n=(Re(x)+i*Im(x))^n=\summe_{k=0}^{n}{{n \choose k}*(Re(x))^k*(i*Im(x))^{n-k}}=...[/m] (zerlege die Summe mal in Real- und Imaginärteil, dann findest du Aussagen über [mm] $Re(x^n)$ [/mm] und [mm] $Im(x^n)$; [/mm] evtl. Fallunterscheidung: $n$ gerade, $n$ ungerade...).
Ich weiß jetzt noch nicht, inwiefern das nützlich ist, aber man kann ja mal so ansetzen.
Vielleicht fällt mir heute abend noch etwas dazu ein, vorher habe ich leider keine Zeit mehr, mich damit zu beschäftigen...
Viele Grüße
Marcel
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Hallo Marcel!
Also: Ich kann jetzt zwar nachvollziehen, was Du mir als Lösungsweg vorgeschlagen hast. Aber das darf ich nicht verwenden. Habe nämlich noch mal ein bißchen nachgefragt, wie die Aufgabe zu machen ist. Man soll zeigen, dass die Folge für a ungleich 1 keine Cauchy-Folge ist! sin und cos sollen/dürfen wir nciht verwenden.
Aber wenn ich mir das so überlege komme ich da auf nix sinnvolles:
Eine Cauchy Folge sagt ja: Der Abstand zwischen den Folgegliedern muss durch ein entsprechendes n beliebig klein werden. Damit würde ich aber erhalten:
a größer 1: divergent, da
I [mm] 2^1 [/mm] - [mm] 2^2 [/mm] I = 2
I [mm] 2^2 [/mm] - [mm] 2^3 [/mm] I = 4
etc.
Ich bekomme den Abstand also nicht beliebig klein für alle a größer 1
a = 1 konvergent, da
I [mm] 1^1 [/mm] - [mm] 1^2 [/mm] I = 0
Und Null ist ja immer beliebig klein für mein Epsilon größer Null
a kleiner Null divergent, da
I [mm] -2^1 [/mm] - [mm] (-2)^2 [/mm] I = 6
I [mm] -2^2 [/mm] - [mm] (-2)^3 [/mm] I = 4
I [mm] -2^3 [/mm] - [mm] (-2)^4 [/mm] I = 24
etc.
da Abstand auch nie beliebig klein
Für a gleich bekäme ich wieder konvergenz und für 0 kleiner a kleiner 1 hätte ich weider konvergenz.
Aber erstens stimtm das nicht mit der Definition, dass ja nur für a = 1 Konvergenz gelten soll und zweitens: Was mache ich mit meinen komplexen Zahlen?!
Liebe Grüße,
Tim
P.S.: Ein Script gibt es nicht und die VL soll so ziemlich die schlechteste der letzten zehn Jahre sein (sagt die FS)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 17.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Fallunterscheidung macht doch keinen Sinn. Du meintest doch letztens, dass $|a|=1$ gelten soll, oder hat sich das jetzt wieder geändert??
Wie habt ihr denn komplexe Zahlen eingeführt?
Hattet ihr schon die Darstellung mit Polarkoordinaten:
[mm] $z=|z|\cdot e^{i \varphi}$?
[/mm]
Wir wissen sonst nicht, was wir voraussetzen können...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:45 Do 17.06.2004 | | Autor: | Der_Literat |
Hallo!
Nein, bisher hatten wir keine Polarkoordinaten. Und ja, Betrag von a = 1 gilt immer noch.
Die komplexen Zahlen haben wir über quadratische Gleichungen eingeführt, ohne geometrische Darstellung.
Gruß,
Tim
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Tim,
> Nein, bisher hatten wir keine Polarkoordinaten. Und ja,
> Betrag von a = 1 gilt immer noch.
> Die komplexen Zahlen haben wir über quadratische
> Gleichungen eingeführt, ohne geometrische Darstellung.
Könntest du bitte für mich nochmal kurz erläutern, welche Frage hier noch offen ist bzw. was du hier beantwortet haben möchtest. Ich habe hier nämlich den Überblick verloren...
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tim,
> Hallo!
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> Nein, bisher hatten wir keine Polarkoordinaten. Und ja,
> Betrag von a = 1 gilt immer noch.
> Die komplexen Zahlen haben wir über quadratische
> Gleichungen eingeführt, ohne geometrische Darstellung.
Aha. Das hilft mir jetzt, ehrlich gesagt, gar nicht weiter...
Was wißt ihr denn über komplexe Zahlen? Wißt ihr, dass die Menge der komplexen Zahlen mit der dort definierten Addition, Multiplikation ein Körper ist?
Habt ihr schon etwas über Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen gehört?
Momentan weiß ich absolut gar nicht, was du verwenden darfst und was nicht.
Schau dir vielleicht das hier einmal an:
1.) ![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-sb.de/~ag-wittstock/lehre/SS01/analysis2/Kap3_4.pdf
oder das hier:
2.) http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/basics/guidedtour_b2_1_5.html
Vielleicht steht da ja etwas drin, was dir aus deiner Vorlesung bekannt vorkommt. Teilst du uns bitte mit (Verweise genügen!), was dir dort bekannt vorkommt?
Momentan kommt es mir so vor, als solltet ihr eine Aussage über komplexe Zahlen beweisen, habt aber in der Vorlesung noch gar nicht erfahren, was eine komplexe Zahl überhaupt ist...
Komische Sache...
Viele Grüße
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tim,
> ...Bin leider erst jetzt wieder in matheraum reingekommen, keine Ahnung > warum.
Ich habe mittlerweile nachgefragt, es lag tatsächlich ein kleines Problem vor, so dass der Matheraum zeitweise 'schlecht zu erreichen' war.
Viele Grüße
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Huups, entschuldige bitte, ich hatte ganz vergessen die Lösung nachzuliefern. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Also, es ist gar nicht so schwierig das Ganze auch elementar nachzuweisen, wenn man komplexe Zahlen nur als $u=Re(z)+iIm(z)$ kennengelernt hat, ohne Polarkoordinaten.
Wir nehmen an, es ist $a [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|a|=1$ und [mm] $(a^n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine konvergente Folge. Dann müsste [mm] $(a^n)_{n \in \IN}$ [/mm] auch eine Cauchy-Folge sein, d.h. es müsste für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N_0(\varepsilon)$ [/mm] geben, so dass für alle [mm] $n,m\in \IN$ [/mm] mit $m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge N_0(\varepsilon)$ [/mm] gilt:
(*) [mm] $|a^n [/mm] - [mm] a^m| =\underbrace{|a|^n}_{=1 \ \mbox{wegen}\ |a|=1} \!\!\!\!\!\!\!\!\! \cdot\, [/mm] |1- [mm] a^{m-n}| [/mm] = [mm] |1-a^{m-n}|< \varepsilon$.
[/mm]
Ich nehme nun an, dass $a [mm] \ne [/mm] 1$ gilt. Dann ist [mm] $\varepsilon:=\frac{\sqrt{(1-Re(a))^2 + (Im(a))^2}}{2}>0$. [/mm] Dann müsste (*) auch für [mm] $n:=N_0(\varepsilon)$ [/mm] und $m:=n+1$ gelten. In Wahrheit aber gilt:
[mm] $|a^{N_0(\varepsilon)} [/mm] - [mm] a^{N_0(\varepsilon)+1}| \stackrel{(s.o.)}{=} [/mm] |1 - a| = [mm] \sqrt{(1-Re(a))^2 + (Im(a))^2} [/mm] > [mm] \varepsilon$,
[/mm]
was einen Widerspruch zu (*) darstellt. Daher ist [mm] $(a^n)_{n \in \IN}$ [/mm] für $a [mm] \in \IC$, [/mm] $|a|=1$, $a [mm] \ne [/mm] 1$ keine Cauchy-Folge, konvergiert also auch nicht.
Liebe Grüße
Stefan
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