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Ähnlichkeitstransformation
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Ähnlichkeitstransformation

Zustandsgrößen sind in einem n-dimensionalen Zustandsraum festgelegt. Eine Änderung der Größen bedeutet eine Änderung des Koordinatensystems. Dieses muss angepasst werden, damit der neue und alte Zustand konform bleiben.

Eine entsprechende Koordinatentransformation ist also eine Anpassung des Koordinatensystems gemäß der Zustandsänderung. Die neu entstandene Dynamikmatrix ist der ursprünglichen ähnlich. Die Ähnlichkeit bezieht sich auf den n-dimensionalen Raum (er wird beibehalten).


Die Determinante ist invariant, so dass gilt:

$ |A|=|T^{-1}AT|=|TAT^{-1}| $

Hier ist T die Transformationsmatrix.

Des weiteren bleiben natürlich die Eigenwerte erhalten und es ist:

$ |s\underline{I}-\underline{A}|=|s\underline{I}-T^{-1}AT|=(-1)^{n}|T^{-1}AT-s\underline{I}| $

für eine n-reihige quadratische Matrix A.


Vor und nach der Transformation wird dasselbe System beschrieben.



Beispiel: Diagonalisierung


gegeben sei eine Matrix $ A:=\pmat{ 2 & 0 \\ 1 & 3 } $


Für den Eigenvektor wird $ det(\lambda\ I\ -\ \underline{A}) $ ermittelt:

$ |\lambda\ I\ -\ \underline{A}|=\vmat{ \lambda-2 & 0 \\ -1 & \lambda-3 }=(\lambda-2)\cdot{}(\lambda-3) $

Die Eigenwerte lauten somit:  $ \lambda_1=3\quad \wedge\quad \lambda_2=2 $



1. Eigenvektor

$ (\lambda_1\ I\ -\ \underline{A})\cdot{}\vec{v}_{1}=\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 0 }\cdot{}\pmat{ v_{11} \\ v_{12} }=\pmat{ 0 \\ 0 }\quad \Rightarrow\quad v_{11}=0\ \wedge\ -v_{12}=0\quad \Rightarrow\quad \vec{v}_{11,12}=\pmat{ 0 \\ 1} $



2. Eigenvektor

$ (\lambda_2\ I\ -\ \underline{A})\cdot{}\vec{v}_2=\pmat{ 0 & 0 \\ -1 & -1 }\cdot{}\pmat{ v_{21} \\ v_{22} }=\pmat{ 0 \\ 0 }\quad \Rightarrow\quad v_{21}=-v_{22}\quad \Rightarrow\quad \vec{v}_{21,22}=\pmat{ 1 \\ -1} $



$ \underline{V}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 }\quad \quad \underline{V}^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } $


$ \underline{A}_v:=\underline{V}^{-1}\ \underline{A}\ \underline{V}=\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 2 } $


Diese Matrix $ \underline{A}_v $ ist der obigen Matrix $ \underline{A} $ ähnlich.




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Erstellt: Mo 19.03.2007 von Herby
Letzte Änderung: Do 11.02.2010 um 21:34 von Herby
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