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Hurwitz-Determinante

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Hurwitz-Determinante

Hurwitz-Determinante

Um die Stabilität zu gewährleisten, müssen zum einen in dem Hurwitzpolynom:

1. alle Koeffizienten vorhanden sein
2. alle Koeffizienten gleiches Vorzeichen besitzen

Dieses Polynom n-ten Grades wird in einer Matrix folgendermaßen dargestellt:

$\vmat{a_1 |& a_0 |& 0 |& 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ a_3 & a_2 |& a_1 |& a_0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ a_5 & a_4 & a_3 |& a_2 & a_1 & a_0 & ... & 0 \\ ... & . & . & . & . & . & . & ... \\ ... & . & . & . & . & . & . & ... \\ a_{2\cdot{}n-1} & a_{2\cdot{}n-2} & . & . & . & . & . & a_n}$

zum anderen

3. alle Hurwitz-Unterdeterminanten positiv sein.

Damit sind die Nord-Westwertigen Unterdeterminaten (angedeutet durch die kleinen Striche in der Determinante) gemeint.

$H_1:=\vmat{a_1}=a_1$

$H_2:=\vmat{a_1 & a_0 \\ a_3 & a_2}=a_1\cdot{}a_2-a_3\cdot{}a_0$

$H_3:=\vmat{a_1 & a_0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 \\ a_5 & a_4 & a_3}=a_1\cdot{}a_2\cdot{}a_3+a_0\cdot{}a_1\cdot{}a_5-a_4\cdot{}a_1^2-a_3^2\cdot{}a_0$

..
.

somit muss $H_i>0\quad \left(i=1,2,...,\bruch{n}{2}\right)$ sein um das Stabilitätskriterium zu erfüllen.

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Letzte Änderung: Fr 16.02.2007 um 13:31 von Herby

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