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Laplace-Linearität
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Laplace-Linearität

Die Laplace-Transformation ist eine lineare Transformation, d.h. es gilt:

$ \mathcal{L}\{c_1f_1(t)+c_2f_2(t)\}=c_1F_1(s)+c_2F_2(s) $

das ergibt sich aus der Linearitätsregel der Integralrechnung.


$ \mathcal{L}\{c_1f_1(t)+c_2f_2(t)\}:=\integral_0^{\infty}{[c_1f_1(t)+c_2f_2(t)]\cdot{}e^{-st}\ dt} $

$ =c_1\ \integral_0^{\infty}{f_1(t)\cdot{}e^{-st}\ dt}+c_2\ \integral_0^{\infty}{f_2(t)\cdot{}e^{-st}\ dt}\quad =:c_1\mathcal{L}\{f_1(t)\}+c_2\mathcal{L}\{f_2(t)\} $


Anwendungsbeispiel

Als bekannt vorausgesetzt seien folgende Beziehungen

$ 1.\quad cos(\omega t)=\bruch{1}{2}\left(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}\right) $

$ 2.\quad \mathcal{L}\left\{e^{\alpha t}\right\}=\bruch{1}{s-\alpha} $

eine Herleitung zu 2. findet ihr hier: Laplace (e-Funktion)

dann ist


$ \mathcal{L}\{cos(\omega t)\}=\mathcal{L}\left\{\bruch{1}{2}\left(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}\right)\right\}=\bruch{1}{2}\mathcal{L}\left\{e^{j\omega t}\right\}+\bruch{1}{2}\mathcal{L}\left\{e^{-j\omega t}\right\} $

wegen 2. erhält man

$ \bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{s-j\omega}+\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{s+j\omega}=\bruch{s}{s²+\omega^2} $

$ \mathcal{L}\{cos(\omega t)\}= \bruch{s}{s²+\omega^2} $

Für $ \omega=1\quad \Rightarrow\quad \mathcal{L}\{\cos(t)\}=\bruch{s}{s^2+1} $


Erstellt: Di 14.11.2006 von Herby
Letzte Änderung: Do 28.01.2010 um 22:18 von Herby
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