www.vorwissen.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Das gesammelte Wissen der Vorhilfe
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Nullstellenbestimmung
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Nullstellenbestimmung

Gegeben sei eine ganzrationale Funktion der Form $ p(x)=a_n\cdot{}x^n+a_{n-1}\cdot{}x^{n-1}+\ldots+a_2\cdot{}x^2+a_1\cdot{}x+a_0 $.

Gesucht sind die Nullstellen, also die Werte für x, so dass p(x)=0 gilt.

Leider gibt es nur für bestimmte ganzrationale Funktionen explizite Lösungsverfahren für das Nullstellenproblem; diese werden im Folgenden vorgestellt.



Konstante Funktionen (Grad 0; $ p(x)=a_0 $)

haben entweder keine Nullstelle ($ a_0 \ne 0 $)

oder sind überall Null ($ a_0 = 0 $)


Lineare Funktionen (Grad 1; $ p(x)=a_1\cdot{}x+a_0 $)

haben max. eine Nullstelle.

Wenn sie die Steigung $ a_1=0 $ haben und nicht durch den Ursprung verlaufen, haben sie keine Nullstelle.

Quadratische Funktionen (Grad 2; $ p(x)=a_2\cdot{}x^2+a_1\cdot{}x+a_0 $)


Mitternachtsformel

Die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form:

$ 0=a_2\cdot{}x^2+a_1\cdot{}x+a_0 $

lauten (sofern die Ausdrücke definiert sind)

$ x_1=\bruch{-a_1 + \wurzel{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} $

und

$ x_2=\bruch{-a_1 - \wurzel{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} $.

In Kurzschreibweise:

$ x_{1,2}=\bruch{-a_1 \pm \wurzel{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} $.


p/q-Formel

Die Lösung(en) einer quadratrischen Gleichung der Form
$ x^2+px+q=0 $ lauten (sofern die folgenden Ausdrücke definiert sind):
$ x_1=-\bruch{p}{2}+\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q} $
und
$ x_2=-\bruch{p}{2}-\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q} $.

In Kurzschreibweise:

$ x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q} $.


Quadratische Ergänzung

Eine Quadratische Ergänzung nennt man die Erweiterung eines Terms der Form

$ x^2+px $

zu einer binomischen Formel:

$ x^2+px+\underbrace{\left( \bruch{p}{2}\right)^2}_{\mbox{quadratische Ergänzung}} = \left( x + \bruch{p}{2} \right)^2 $


Satz des Vieta

Gegeben sei eine quadratische Funktion $ f(x)=x^2+px+q $

Gesucht seien die Nullstellen $ x_{1,2} $

Dann gilt:

$ f(x) = (x-x_1)(x-x_2)=0 $


mit $ p = -(x_1+x_2) $ und $ q=x_1\cdot{}x_2 $


Effektivere Behandlung von Spezialfällen


Ganzrationale Funktionen höheren Grades (Grad $ \ge 3 $)

siehe auch:
kubische Gleichung
[link]Cardano-Formel

[link]FH Lüneburg


Polynomdivision


Horner-Schema


Numerische Verfahren

Erstellt: Fr 27.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Di 12.09.2006 um 16:18 von informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.vorwissen.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]