Pythagoras

Satz des Pythagoras

Voraussetzungen und Behauptung

In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.

Bemerkungen.

(1) Sind , und die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks und liegt der rechte Winkel der Seite gegenüber, so gilt:

(2) Auch im Dreidimensionalen gilt die Erweiterung dieses Satzes durch doppelte Anwendung:
Die Raumdiagonale in einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c hat die Länge:

Beweis nach Garfield

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In das Quadrat 1 mit der Seitenlänge ist ein Quadrat 2 mit der Seitenlänge eingefügt worden.

Jede Ecke des 2. Quadrats berührt je eine Seite des 1. Quadrats.

Das bedeutet, dass im 1. Quadrat das 2. Quadrat ist und noch 4 identlische rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlänge  a, b und c.

Wir wissen demnach, dass die Fläche des 1. Quadrats gleich dem Quadrat seiner Seitenlänge ist, also .

Die Summe der Flächen der 4 Dreiecke und der Fläche des 2. Quadrats entspricht der Fläche des 1. Quadrats .

Die Summe dieser Flächen ergibt die folgende Fläche:

Nun werden die beiden Flächenformeln gleichgesetzt, da gilt.

Also:

nun wird auf beiden Seiten abgezogen

q.e.d (:biggrin:)

siehe auch: Wikipedia