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Wurzel_Ableitung

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Wurzel Ableitung

Bilden Sie die Ableitungsfunktion f' der Wurzelfunktion $\wurzel{x}$ nur unter Benutzung der Definition des Differentialquotienten.

Du kennst den Differentialquotienten:

$f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h$

Hier $f(x)=\wurzel{x}$

Also:

$f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}}}{h}$

Für die Umformungen, deren Ziel es ist, h=0 einsetzen zu können (also es aus dem Nenner zu entfernen), lasse ich mal den Limes weg.

$\bruch{\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}}}{h}$
$=\bruch{(\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}})(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}$
$=\bruch{(\wurzel{x_{0}+h})²-(\wurzel{x_{0}})²}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}$
$=\bruch{x_{0}+h-x_{0}}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}$
$=\bruch{h}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}$
$=\bruch{1}{\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}}}$

Jetzt kannst du, ohne dass der Nenner Null wird, h=0 setzen, also:

$f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}}}{h}$
$=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{1}{\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}}}$
$=\bruch{1}{\wurzel{x_{0}+\red{0}}+\wurzel{x_{0}}}$
$=\bruch{1}{\wurzel{x_{0}}+\wurzel{x_{0}}}$
$=\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{x_{0}}}$

Letzte Änderung: Do 05.02.2009 um 14:28 von informix

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