Ein Projekt von vorhilfe.de

Das gesammelte Wissen der Vorhilfe
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen
	Einstieg

	Index aller Artikel

	Hilfe / Dokumentation
	Richtlinien
	Textgestaltung
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

spezielle_Reihenwerte

Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

spezielle Reihenwerte

1. Wir berechnen

$S:=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{4}\,.$

Lösung:

$\alpha)$ Zunächst gilt

$(\star)\hspace{2cm}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=1\,:$

Für jedes $N \in \IN$ ist nämlich

$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^N \Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Big)=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}-\sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} =\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} -\sum_{n=2}^{N+1} \frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{N+1}.$

Es folgt

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)}=1-\lim_{N \to \infty}\frac{1}{N+1}=1-0=1.$

Insbesondere erkennen wir mit dem Majorantenkriterium die Existenz von $S\,.$
(In ganz analoger Weise zeigt man: Aus $a_n \to a$ (auch $a=\pm\infty$ ist erlaubt) folgt $\sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N(a_n-a_{n+1})=a_1-\lim_{N \to \infty} a_{N+1}=a_1-a\,.\,$ Siehe auch Teleskopsumme bzw. Teleskopreihe!)

$\beta)$ Wir betrachten $\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{n(n+1)}.$ Dann gilt einerseits wegen $\alpha)$ und $(\star)$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{n(n+1)}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=2S-1.$

Andererseits folgt wieder mit $(\star)$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{n(n+1)(n+2)} =-\;\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$

$=-\;\Big(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\Big)+\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\;\frac{1}{2}.$

Insgesamt folgt damit

$2S-1=-\frac{1}{2}\,,$

also

$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{4}.$

$\hfill\Box$

Erstellt: Mo 27.05.2013 von Marcel

Letzte Änderung: Mo 27.05.2013 um 16:56 von Marcel

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext