stetigDefinition stetig
Schule
Stetigkeit heißt im Prinzip nichts Anderes, als dass man den Graphen einer Funktion in ihrem Definitionsbereich ohne den Stift abzusetzen zeichnen kann. D.h. der Graph darf keine Sprünge machen (wie z.B. bei der Integer-Funktion). Das ist natürlich keine mathematisch exakte Definition, aber eine gute Veranschaulichung.
Mathematisch exakt lautet es in etwa so:
Die Funktion f ist an der Stelle  stetig, wenn  existiert und 
D.h. der (beidseitige!) Grenzwert muss existieren und dem Funktionswert an dieser Stelle entsprechen. Anschaulich: Wenn man sich von links der Stelle  nähert, muss man auf denselben Funktionswert kommen, wie wenn man sich ihr von rechts nähert UND der Wert muss gleich dem Funktionswert an dieser Stelle sein.
Eine Funktion ist stetig, wenn sie an allen Stellen ihres Definitionsbereiches stetig ist.
Zwei Beispiele für stetige Funktionen:
Und für eine unstetige Funktion:
![$ f(x)= [x] $](/teximg/8/6/00481568.png "$ f(x)= [x] $")
Universität
Seien  und  metrische Räume und sei  Sei  Man sagt, dass  stetig in  ist, wenn der Funktionsgrenzwert  existiert und zudem  gilt. Es ist also genau dann stetig in  wenn:
Ist nicht stetig in so sagt man, dass unstetig in sei.
Ferner heißt (kurz) stetig, wenn stetig in allen  ist. Folglich ist genau dann unstetig, wenn es ein so gibt, dass unstetig in  ist!
Bemerkungen:
(1) Man beachte, dass es nur sinnvoll ist, eine Funktion an Stellen ihres Definitionsbereichs auf (Un-)Stetigkeit zu untersuchen!
(2) In metrischen Räumen ist der Begriff der Stetigkeit äquivlalent zu dem Begriff der Folgenstetigkeit.
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