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FunktionentheorieSkript2
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FunktionentheorieSkript2

$ \leftarrow $ §1 Komplexe Zahlen und Polynome $ \uparrow $ Inhaltsverzeichnis $ \rightarrow $ §3 Komplexes Kurvenintegral


§2 Komplex differenzierbare Funktionen


$ D $ sei offene Teilmenge von $ \IC $, $ a\in\IC $, $ f:\ D\to\IC $ Funktion
Def $ f $ heißt komplex differenzierbar im Punkt $ a $, wenn gilt:
$ \limes_{\stackrel{0\not=h\to 0}{h\in\IC,\ a+h\in D}} \bruch{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right) $ existiert in $ \IC $.
Man nennt dann diesen Grenzwert die komplexe Ableitung von $ f $ im Punkt $ a $ und bezeichnet sie oft mit $ f'(a) $.

Bem $ \lambda\in\IC $
$ \limes_{0\not=h\to0} \bruch{1}{h}\left( f(a+h)-f(a)\right)=\lambda $ bedeutet:
Ist $ (h_n)_{n\ge 0} $ Folge, $ h_n\in\IC $, $ h_n\not=0\ \forall n $, $ a+h_n\in D\ \forall n $, so ist $ \limes_{n\to\infty}\bruch{1}{h_n}\left(f(a+h_n)-f(a)\right)=\lambda $

Übg $ x=\operatorname{Re}:\ \IC\to\IC $
$ \limes_{n\to\infty} \bruch{1}{1/n}\left( x\left(a+\bruch{1}{n}\right)-x(a)\right)=\limes_{n\to\infty}\bruch{1}{1/n}(1/n)=1 $
$ \limes_{n\to\infty} \bruch{1}{i/n}\left( x\left(a+\bruch{i}{n}\right)-x(a)\right)=0 $
d.h. x ist nicht komplex differenzierbar in $ a\in\IC $ ($ \forall a\in\IC $).

$ y=\operatorname{Im}:\ \IC\to\IC $
y ist nicht komplex differenzierbar in $ a\in\IC $ ($ \forall a\in\IC $)

Übg $ z=\operatorname{id}_{\IC}:\ \IC\to\IC $
z komplex differenzierbar in a mit $ z'(a)=1 $ ($ \forall a\in\IC $)

Es gilt: Es sei $ \varepsilon>0 $ mit $ D_{\varepsilon}(a):=\left\{\lambda\in\IC\ :\ |\lambda-a|<\varepsilon\right\}\subseteq D $
Es sei $ q: D_{\varepsilon}(0)\to\IC $
gegeben durch $ q(h)=\begin{cases} \bruch{1}{h}(f(a+h)-f(a)) &amp; h\not=0 \\ \lambda &amp; h=0\end{cases} $
Dann gilt:
$ \limes_{\stackrel{0\not=h\to 0}{h\in\IC,\ a+h\in D}} \bruch{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)=\lambda\ \gdw\ q $ ist stetig.

Es gilt: $ f:\ D\to\IC $, $ a\in D $, f komplex differenzierbar in a.
$ \Rightarrow $ $ \bruch{\partial f}{\partial x}(a) $ und $ \bruch{\partial f}{\partial y}(a) $ existieren in $ \IC $ und

$ \bruch{\partial f}{\partial x}(a)=\bruch{1}{i}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x}(a) $

Weiter gilt: $ f'(a)=\bruch{\partial f}{\partial x}(a) $ wobei $ f'(a) $ die komplexe Ableitung von f im Punkt a ist.

$ f: D\to\IC $

Def f heiße komplex differenzierbar, wenn gilt: $ \forall a\in D $ ist f komplex differenzierbar in a[/mm]

Def Ist f komplex differenzierbat, so ist die komplexe Ableitung f' von f die Funktion, die $ a\in D $ auf f'(a) abbildet (es ist $ f': D\to\IC $.

Übg Sei $ m=\pmatrix{a &amp; b\\c &amp; d}\in\IR^{2\times 2} $ und $ g_m=(ax+by)+i(cx+dy) $
Frage: Für welche m ist $ g_m $ komplex differenzierbar?

$ \bruch{\partial g_m}{\partial x}=a+ic $, $ \bruch{\partial g_m}{\partial y}=b+id} $

Wenn $ g_m $ komplex differenzierbar
$ \Rightarrow $ (Cauchy-Riemann-Bedingung) $ \bruch{\partial g_m}{\partial x}=\bruch{1}{i}\cdot{}\bruch{\partial g_m}{\partial y} $
$ \Rightarrow $ $ a+ic=\bruch{1}{i}(b+id) $
$ \Rightarrow $ $ a=d, b=-c $
$ \Rightarrow $ $ m=\pmatrix{a &amp; b\\-b &amp; a} $

Sei a=d, b=-c
$ \Rightarrow $ $ \alpha=\uderbrace{(a-ib)}_{a+ic}\in\IC $
$ \Rightarrow $ $ g_m=\alpha\cdot{}z $, da (a+ic)(x+iy)=(ax-cy)+i(cx+ay)
$ \Rightarrow $ $ g_m'=\alpha $

Bsp komplexe Exponentialfunktion
$ \operatorname{exp}:=e^x\cdot{}\left( \cos y+i\sin y\right):\ \IC\to\IC $
Es gilt: $ \exp $ ist komplex differenzierbar. Die komplexe Ableitung $ \exp' $ von $ \exp $ ist $ \exp $.

Bsp komplexer Logarithmus
$ D:=\IC\setminus\left\{r\in\IR\ :\ r\le 0\right\} $
Es gilt: Es existiert eine eindeutig bestimmte Funktion $ \overbrace{\phi}^{=\arg}:\ D\to\IR $ mit
$ -\pi<\phi(\lambda)<+\pi $   $ \forall \lambda\in D $
$ \lambda=|\lambda|(\cos\phi(\lambda)+i\sin\phi(\lambda)) $

Es sei $ \log:\ D\to\IC $ gegeben durch $ \log\lambda:=\log|\lambda|+i\phi(\lambda) $
Es gilt: $ \log $ ist komplex differenzierbar, $ \log'=\bruch{1}{z} $


Satz 1 Es seien $ f,g:\ D\to\IC $, $ a\in D $
Dann gilt:
(i) Sind f,g komplex differenzierbar in a, so sind

$ f+g, f\cdot{}g $


komplex differenzierbar in a und

$ (f+g)'(a)=f'(a)+g'(a) $


$ (f\cdot{}g)'(a)=f(a)\cdot{}g'(a)+f'(a)\cdot{}g(a) $


(ii) Hat f keine Nullstelle in D und ist f komplex differenzierbar in a, so ist $ \bruch{1}{f} $ komplex differenzierbar in a und

$ \left(\bruch{1}{f}\right)'(a)=\bruch{-f'(a)}{f^2(a)} $

Übg
$ f=\summe_{k=0}^{n} a_k z^k\in\IC[z] $, $ a_k\in\IC $
f komplex differenzierbar und die komplexe Ableitung f' ist gleich

$ \summe_{k=1}^{n} ka_k z^{k-1} $


Korollar D offen in $ \IC $, D zusammenhängend, $ f:\ D\to\IC $ komplex differenzierbar mit f'=0  (f' komplexe Ableitung von f)
$ \Rightarrow $ f ist konstante Funktion

Übg Es gibt genau eine komplex differenzierbare Funktion $ f:\ \IC\to\IC $ mit

$ f'=f $


$ f(0)=1 $


($ f=\exp $)

Übg Es existiert genau eine komplex differenzierbare Funktion $ f:\ \IC\to\left\{ r\in\IR\ :\ r\le 0\right\}\to\IC $ mit

$ f'=\bruch{1}{z} $


$ f(1)=0 $


($ f=\log $)

Bem $ L:\ \IC\setminus\left\{ir\ :\ r\ge0\right\}\to\IC $, $ L(\lambda)=? $
Sei $ \lambda\in D' $
Es existiert genau ein $ \phi(\lambda)\in\IR $ mit: $ -\bruch{3}{2}\pi<\phi(\lambda)<\bruch{1}{2}\pi $ mit $ \lambda=|\lambda|(\cos\phi(\lambda)+i\sin\phi(\lambda)) $

$ L(\lambda):=\log|\lambda|+i\phi(\lambda) $
Man kann zeigen: L komplex differenzierbar $ L'=\bruch{1}{z} $


Satz 2 Es seien $ D, D', D'' $ offene Teilmengen von $ \IC $, $ \phi:\ D\to D' $, $ \psi:\ D'\to D'' $ Abbildungen, $ a\in D $
(i) Wenn $ \phi $ komplex differenzierbar in a, $ \psi $ komplex differenzierbar in $ \phi(a) $, so ist $ (\psi\circ\phi) $ komplex differenzierbar in a und

$ (\psi\circ\phi)'(a)=\psi'(\phi(a))\cdot{}\phi'(a) $


(ii) Wenn $ D''=D $, $ \phi $ bijektiv und $ \psi\circ\phi=\operatorname{id}_D $ (d.h. $ \psi $ ist Umkehrabbildung von $ \phi $), $ \phi $ komplex differenzierbar in a, $ \phi'(a)\not=0 $, so ist $ \psi $ komplex differenzierbar in $ \phi(a) $ und

$ \psi'(\phi(a))=\bruch{1}{\phi'(a)} $

Übg $ \exp(\lambda_1+\lambda_2)=\exp(\lambda_1)\exp(\lambda_2) $ $ \forall \lambda_1,\lambda_2\in\IC $

Übg
$ \cos z=\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2} $
$ \sin z=\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} $
$ \cos'=-\sin $
$ \sin'=\cos $

Es sei $ f:\ D\to\IC $, $ a\in D $
Def f heißt reell differenzierbar in a, wenn gilt:
Es gibt eine reell-lineare Abbdildung $ \phi:\ \IC\to\IC $ mit: $ \limes_{\stackrel{0\not=h\to 0}{a+h\in D}} \bruch{1}{|h|}\left( f(a+h)-f(a)-\phi(h)\right)=0 $
Es gilt: $ \phi $ ist durch f und a eindeutig bestimmt und heißt reelle Ableitung $ \mathrm{d}f(a) $ von f in a
Es gilt: $ \mathrm{d}f(a)(1)=\bruch{\partial f}{\partial x}(a) $    $ 1=\vektor{1\\0} $
$ \mathrm{d}f(a)(i)=\bruch{\partial f}{\partial y}(a) $    $ i=\vektor{0\\1} $


Satz 3 (Cauchy-Riemann)
Es sei D offen in $ \IC $, $ f:\ D\to\IC $, $ a\in D $
Dann gilt: f komplex differenzierbar in a $ \gdw $ f reell differenzierbar und $ \bruch{\partial f}{\partial x}(a)=\bruch{1}{i} \bruch{\partial f}{\partial y}(a) $

Bem $ u:=\operatorname{Re}(f), v:=\operatorname{Im}(f):\ D\to\IR $

$ \bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{i} \bruch{\partial f}{\partial y}\ \gdw\ \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}, \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x} $

Zusatz zu Satz 3: Ist $ f:\ D\to\IC $ stetig partiell differenzierbar in D (d.h. $ \bruch{\partial f}{\partial x}, \bruch{\partial f}{\partial y} $ sind stetig in D), so ist f reell differenzierbar in D.

Übg $ \exp $ ist komplex differenzierbar

Bsp $ \exp $ als Abbildung
$ P:=\left\{\lambda\in\IC\ :\ -\pi<\operatorname{Im}\lambda<+\pi\right\} $
Es gilt: $ \exp(P)=\IC\setminus\left\{r\in\IR\ :\ r\le 0\right\} $

Es gilt:

$ \log\circ\exp|_P=\operatorname{id}_P $


$ \exp|_P\circ\log=\operatorname{id}_D $

Es gilt:

$ \log'=\bruch{1}{z}|_D $

Es sei $ a=(a_n)_{n\ge 0} $ Folge, $ a_n\in\IC $

$ K(a):=\left\{r\in\IR\ :\ r\ge0, \limes_{n\to\infty} a_n r^n=0\right\}\ni 0 $


bzw.

$ K(a):=\left\{r\in\IR\ :\ r\ge0, \limes_{n\to\infty} |a_n| r^n=0\right\}\ni 0 $

Es gilt: $ K(a)=\lbrack 0,+\infty) $ oder es gibt $ R(a)\in\IR $, $ R(a)>0 $ mit $ K(a)=\begin{cases}\lbrack0,R(a)\rbrack &amp; \\\lbrack0,R(a)) &amp;\end{cases} $

Man setzt $ R(a)=+\infty $, wenn $ K(a)=\lbrack0,+\infty) $ und nennt R(a) den Konvergenzradius von a

Übg $ a_n=1\ \forall n\ \Rightarrow K(a)=\lbrack 0,1) $
$ a_n=n^n\ \forall n\ \Rightarrow K(a)=\{0\} $
$ a_n=\bruch{1}{n^2}\ \forall n\ \Rightarrow K(a)=\lbrack 0,1\rbrack $

Übg $ a=(a_n)_{n\ge 0} $, $ a_n\in\IC $
$ a'=(a'_n)_{n\ge 0} $, $ a'_n=(n+1)a_{n+1} $
Es gilt: $ R(a)=R(a') $


^Satz 4 Es sei $ a=(a_n)_{n\ge 0} $ komplexe Zahlenfolge mit $ R(a)>0 $.
Dann gilt:
(i) Es gibt genau eine Funktion $ f:\ D_{R(a)}:=\left\{\lambda\in\IC\ :\ |\lambda|<R(a)\right\}\to\IC $ mit:
Ist $ 0<r<R(a) $ und $ f_n=\summe_{k=0}^{n} a_k z^k $, so konvergiert $ (f_n)_{n\ge 0} $ gleichmäßig auf $ \overline{D_r}:=\left\{\lambda\in\IC\ :\ |\lambda|\le r\right\} $ gegen f.
Man schreibt $ f=\summe_{k=0}^{\infty} a_k z^k $
(ii) f ist komplex differenzierbar und $ f'=\summe_{k=0}^{\infty} a_{k+1}(k+1) z^k $

Bem $ R(a) $ heißt auch Konvergenzradius der formalen Potenzreihe $ \summe_{k=0}^{\infty} a_k z^k $

Bsp Sei $ a_n=\bruch{1}{n!} $ für $ n\ge 0 $
$ \Rightarrow $ $ R(a)=+\infty $

$ f=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!} $ komplex differenzierbare Funktion auf $ \IC $ (Satz 4)
$ f'=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k!}z^{k-1}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^{k-1}}{(k-1)!}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}=f $ (Satz 4 (ii))
$ f(0)=1 $ $ \Rightarrow $ $ f=\exp $

Bsp $ a=(a_n)_{n\ge 0} $ mit $ a_n=-\bruch{(-1)^n}{n} $ für $ n\ge 1 $, $ a_0=0 $

$ \Rightarrow $ $ R(a)=1 $

$ f=-\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} z^n $ komplex differenzierbar auf $ D_1 $

$ f'=-\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n}\cdot{}n\cdot{}z^{n-1}=\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} z^{n-1}=\summe_{n=0}^{\infty} (-z)^n $
Beh $ f'=\bruch{1}{1+z}|_{D_1} $

$ \left(\log(1+z)|_{D_1}\right)'=\bruch{1}{1+z} $, $ \log(1+0)=0 $, $ f(0)=0 $ $ \Rightarrow $ $ f=\log(1+z)|_{D_1} $

Bem Es sei $ \lambda\in\IC $, $ |\lambda|>R(a) $
$ \Rightarrow $ Die Folge $ (f_n(\lambda))_{n\ge 0} $ konvergiert nicht in $ \IC $



$ \leftarrow $ §1 Komplexe Zahlen und Polynome $ \uparrow $ Inhaltsverzeichnis $ \rightarrow $ §3 Komplexes Kurvenintegral

Erstellt: So 13.03.2005 von Marc
Letzte Änderung: Mi 08.06.2005 um 10:38 von Marc
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