www.vorwissen.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Das gesammelte Wissen der Vorhilfe
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Substitutionsregel
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Substitutionsregel

Satz Substitutionsregel der Integralrechnung

$ f:\ [d,c]\to\IR $ integrierbar, $ \varphi:\ [a,b]\to\IR $ stetig differenzierbar, $ [\varphi(a),\varphi(b)]\subset[d,c] $

Dann gilt:
$ \int\limits_a^b f(\varphi(x))\cdot{}\varphi'(x)\; \mbox{d}x=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\;\mbox{d}z $



Bemerkungen.

Die Integration durch Substitution beruht auf der Umkehrung der Kettenregel.


Beispiel 1


$ \integral {\bruch{e^{\wurzel{x}}}{\wurzel{x}} dx} $


Substitution: $ t = \wurzel{x} \Rightarrow x = t^2 \Rightarrow \bruch{dx}{dt}= 2t $
Einsetzen: $ \integral{\bruch{e^t}{t}\cdot{}2t dt} = \integral {2\cdot{}e^t dt} = 2\cdot{}e^t + C $
Rückeinsetzen: $ = 2 e^{\wurzel{x}} + C $

Beispiel 2


$ \integral {\bruch{x^2}{\wurzel{x^3+2}} dx} $


Substitution: $ t = x^3+2 \Rightarrow \bruch{dt}{dx} = 3 x^2 \Rightarrow dx = \bruch{1}{3x^2} dt $
Einsetzen: $ \integral {\bruch{x^2 \cdot{} 1}{\wurzel {t}\cdot{} 3x^2} dt} = \bruch{1}{3} \integral {\bruch{1}{\wurzel {t}}dt} = \bruch{1}{3}\cdot{} 2 \cdot{} \wurzel{t} + C $
Rückeinsetzen: $ = \bruch{2}{3} \wurzel{x^3 + 2} + C $


Erstellt: Di 31.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Di 19.07.2005 um 16:32 von Loddar
Weitere Autoren: informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.vorwissen.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]